Premio en dos modalidades

Un señor debe elegir entre dos modalidades de premio. Modalidad A: Recibir hoy 100.000 €. Modalidad B: Hoy debe pagar 10.000 € y dentro de 9 meses recibirá M €. Calcular M para que ambas alternativas le resulten financieramente equivalentes valorando al 10% efectivo anual.

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En la Modalidad A los 100.000 € se reciben en t=0, y no existe ninguna otra cantidad.

En la Modalidad B en t=0 no se reciben, sino que se pagan 10.000 €, y luego es es t=9 meses, cuando se recibe una cantidad de M euros.

Nos piden calcular la cantidad M que hace que ambas modalidades nos resulten financieramente equivalentes valorando al 10% efectivo anual en capitalización compuesta.

Esto quiere decir que ambas modalidades deben ser equivalentes (iguales) valorando en cualquier punto del tiempo que se elija. Normalmente los puntos de valoración son el origen de la operación (t=0) y el final (t=n). En este caso es preferible valorar en t=n, ya que así es más cómodo despejar M.

Equivalencia Financiera en t=9

Valorando en t=9 meses, lo que debemos hacer es igualar ambas modalidades de pago valoradas ambas en t=9 meses, aplicando en la valoración un 10% efectivo anual en capitalización compuesta.

Modalidad A (en t=9) = Modalidad B (en t=9)

100000(1+0,1)^(9/12)=-10000(1+0,1)^(9/12)+M

De ahí despejamos M.

Equivalencia Financiera en t=0

Si hacemos la Equivalencia Financiera en t=0 tendríamos:

100000=-10000+M(1+0,1)^-(9/12)

Despejando M obtendríamos el mismo valor que anteriormente, ya que podemos observar que ambas ecuaciones son en realidad la misma, con la diferencia que en una de ellas se múltiplia término a término respecto a la otra por 1,1^0,75.

Excel

Al resolver este ejercicio con Excel podemos utilizar el cálculo de M tal como se indica en la explicación anterior, o bien resolverlco con Buscar Objetivo o Solver.

Si usamos Buscar Objetivo o Solver podemos plantear ambas modalidades e inventarnos el importe de M. Luego calculamos el Valor Actual (en t=0), o bien el Valor Final (en t=9) de ambas modalidades. Calculamos la diferencia de Valores Actuales, o bien calculamos la diferencia de Valores Finales y pedimos a Buscar Objetivo o a Solver que haga que la diferencia sea cero, y que para ello calcule el valor de M.

Método 1

Método 2

Observa en la imagen que este problema se resuelve en una sola celda D24, y que la fórmula la puedes ver en la imagen. Es la siguiente:

=(C23-D23)*1,1^0,75

Y eso es porque lo hemos querido expresar de forma ordenada y clara. Pero bastaría haber puesto en una celda la expresión:

=110000*1,1^0,75

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Pregunta

Yo lo he planteado diciendo que en to, en la modalidad A tenemos 100.000, y en la B tenemos -10.000. Por lo que en to la modalidad B tiene una desventaja de 110.000. Por lo que a los nueve meses, para hacerlos equivalentes, a ese interés, debe recibir: 118150.9449 €.

Modalidad B
diferencia entre caso A y B en to: 110000
meses= 9
n= 9/12
i= 10%
M=Cn=Co*(1+i)^n= 118150.9449

El resultado es el mismo, pero creo que mi razonamiento es más simpler y no sé si es correcto.

Respuesta

Tu razonamiento es perfecto, lógicamente en el fondo, coincide con el planteamiento que os he mostrado usando ecuaciones [haciendo la equivalencia financiera].

Es preferible que os vayáis acostumbrando a estos planteamientos con Equivalencias Financieras porque en el próximo tema (Rentas) y siguientes será el procedimiento que utilizaremos de forma intensiva. Cuando los problemas se vayan complicando (más cuantías que intervienen en la operación) será más complicado sacar los problemas a base de razonamientos específico para cada caso, y se necesitará un método. Ese método
es el de las EQUIVALENCIAS FINANCIERAS.

Para este caso tu planteamiento es super-correcto, ya que lo que haces es 'netear' las dos cuantías que vencen en t=0, y como son de signo contrario, realmente se suman:

100.000 - (-10.000) = 110.000

Ese importe es Co.

Por otro lado, sabes quien es n e i, por lo que calcular Cn es ya un tema sencillo aplicando la ley de capitalización compuesta.

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Haciendo la equivalencia financiera en t=0 obteníamos:

100000=-10000+M*1,1^(-9/12)     [Ec. 1]

Lo que hacíamos es igualar la prestación y la contraprestación en t=0.

Pero esa Equivalencia Financiera (EF) la podemos realizar igualando prestación y contraprestación en cualquier instante del tiempo que elijamos. El instante elegido depende de la comodidad para los cálculos.

Si ahora elegimos el instante t=9 meses la equivalencia financiera se puede expresar como:

100000*1,1^(9/12)=-10000*1,1^(9/12)+M     [Ec. 2]

lo que es igual a:

110000*1,1^(9/12)=M

Puedes comprobar que tanto obtengas M haciendo la EF en un punto o en otro se obtiene el mismo resultado.

Comprueba que la ecuación 1 y la ecuación 2 en realidad son la misma ecuación. Lo que hemos hecho es tomar la [Ec. 1] y multiplicarla término a término por 1,1^(9/12), y así obtenemos la [Ec. 2].