Operación de constitución modificada

Una asociación sin ánimo de lucro desea realizar aportaciones mensuales prepagables durante 10 años para llegar a obtener un montante de 100.000 €. Para ello contrata con un banco un fondo de ahorro al 6% nominal anual.
Calcular la aportación mensual prepagable necesaria para llegar al montante propuesto.
Transcurridos 3 años y antes de efectuar el pago mensual previsto en ese instante cambian las condiciones del fondo de ahorro. Se alarga la duración total prevista en 4 años, las aportaciones serán trimestrales prepagables y el tipo pactado será del 5,20% efectivo anual.
Si el nuevo montante que se alcanzará transcurridos los 14 años es de 180.000 € calcular la trimestralidad abonada.
Si en lugar del montante al que se llega trabajando con el 5,20% efectivo anual se llegara a 200.000 €, ¿con qué  tanto efectivo anual se habría trabajado desde que cambiaron las condiciones del fondo de ahorro?

Solución Spreadsheet de Google Docs
Solución Excel


Consulte el problema resuelto siguiente:

Cambian las condiciones de un fondo de ahorro

TIR de una compra con descuento

Puede descargar el archivo EjerciciosVarios.xls

El gerente de una empresa necesita adquirir 4 palés de un producto para su fábrica. Necesita un palé al mes durante 4 meses, al inicio de cada mes. El coste de cada palé es de de 500 € y se paga al contado. También dispone de otra opción que consiste en comprar al inicio los 4 palés por importe de 2.000 €, también con pago al contado, pero en este caso recibiría un descuento por volumen de compra del 5%. Determinar si le resulta rentable la adquisición en dos supuestos: a. Que no exista coste de almacenamiento. b. Que el coste de almacenamiento sea de 10 € por palé al mes. Los palés se consumen al inicio de cada mes. Calcule también cuál debéría ser el coste de almacenaje mensual de cada palé, para que ambas opciones resultasen equivalentes.

---

Si no existe coste de almacenamiento la TIR en términos anuales resulta ser del 51,64%. Con costes de almacenaje de 5 €/mes por cada palé, la TIR baja hasta el 17,91%.

El punto de equilibrio nos arroja que el coste e almacenaje es de 16,67 €/mes por palé, lo que haría que el coste de almacenaje consumiera el beneficio que se obtiene por el descuento por volumen de compra.

VA de una renta en dos tramos y diferida

Calcular el valor actual de una renta compuesta por dos tramos. El primer tramo supone el pago de 120 términos mensuales de 800 €, cuya primera cuantía vence dentro de 14 meses. El segundo tramo consta de 36 términos mensuales de 300.000 €, cuya primera cuantía vence al mes de haberse pagado la última cuantía de 800 €. Todo se valora al 10% efectivo anual.

---

La primera renta se puede tratar como:

• prepagable, y en ese caso se descuentan 14 meses: =VA($C$18;120;-800;;1)*(1+$C$18)^-14
• pospagable, y en ese caso se descuentan 13 meses: =VA($C$18;120;-800)*(1+$C$18)^-13

La segunda renta se puede tratar como:

• prepagable, y en ese caso se descuentan 134 meses: =VA($C$18;36;-300000;;1)*(1+$C$18)^-(14+120)
• pospagable, y en ese caso se descuentan 133 meses: =VA(C18;36;-300000)/(1+C18)^(120+14-1)

Ejemplo

Una renta unitaria de 5 términos que comienza en t=3 y deseamos valorar en t=0, se puede tratar como una renta pospagable y luego descontar 2 años, o como una renta prepagable y luego descontar 3 años.

Renta fraccionada variable en progresión aritmética

Calcular el valor actual de una renta de términos mensuales pospagables y duración 10 años, que tiene constantes los términos de cada año, siendo el primero de ellos de 100 € al mes, y se incrementan en 20 € mensuales todos los años. Valorar al 9% nominal anual.

---

Método 1

Creamos una tabla con 120 meses. En las columnas D y E creamos la columna de los Términos de la renta por dos métodos.  Se trata de una renta variable en progresión aritmética anual y fraccionada mensual.

El método 1 consiste en calcular el VAN de los términos mensuales de la renta descontados al tanto mensual efectivo correspondiente.


Método 2

Creamos la tabla de las columnas G y H, donde anualizamos la renta. Se trata de calcular el valor al final de cada año de los 12 términos de la renta que vencen dentro de ese año.

Así, para el primer año, calcularemos el valor final de una renta mensual, de 12 meses, valorada al i₁₂ correspondiente, pospagable y de importe constante 100 €. La celda H21 es:

=-VF($C$11;12;100+20*(G21-1))

Esta fórmula se copia hacia abajo y nos da el valor a final de año de cada uno de los 10 años de la renta.

En la celda H15 también se calcula este importe, y se le denomina como C, que es el primer importe anual de la renta anualizada. La fórmula de H15 es:

=+VF(C11;12;-C14)

El método 2 consiste en calcular el valor actual de la renta anualizada descontando al tipo anual i.

Método 3

Con el método 3 aplicamos la fórmula del valor actual de una renta variable en progresión aritmética.

La fórmula de la celda H13 es:

=(G15+G16/C12+G16*10)*VA(C12;10;-1)-G16*10/C12

La renta que varía en progresión aritmética es la renta anualizada. Es importante identificar todas las variables dentro de la fórmula anterior. Veamos quién es quien.

• C  Es la primera cuantía de la renta anualizada. Celda G15
• d  Es el incremento en euros que experimenta la renta al pasar de un año al siguiente. Se puede obtener de dos formas. Bien, restando dos anualidades consecutivas cualesquiera, tal y como se hace en la celda G16. O bien, como se muestra en la celda H16: =+VF(C11;12;-C15). Esto es, como el valor final de la renta mensual formada por las doce mensualidades de un año, cuya cuantía es el incremento que se produce de una año al siguiente, expresado en euros. =VF(C11;12;-20)
• n  Es el número de términos anuales, en este caso, 10.
• i  Es el tanto efectivo anual, ya que la renta que estamos tratando es la renta anualizada.

Venta del negocio al otro socio que lo mantiene

El Sr. X realiza un desembolso inicial de 12.000 € para participar en un negocio que le reportara unos beneficios de C € al final de cada año. Transcurridos 5 años vende el negocio a otro señor (Sr.Y), que le paga un precio P. Este segundo inversor cobrará los mismos ingresos al final de cada año y mantendrá el negocio durante los próximos 5 años momento en que lo vende por 12.000 €.
Supuesto que la rentabilidad del Sr. X fue del 5% anual efectivo y la del Sr. Y del 6% anual efectivo, calcular:
a) La cuantía C
b) El precio P

---

Con Solver

Este es un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con Solver no podríamos, en principio, resolver este problema ya que se trata de dos incógnitas. Finalmente, lo hemos conseguido poniendo una variable en función de la otra. De esta forma con Solver únicamente atacamos una incógnitas y la resolución se lleva a cabo sin dificultad.

Las dos incógnitas son C y P. Donde C es el término de la renta y P es el precio de compra venta de negocio en t=5.

En la celda D16 se indica el precio P. En lugar de inventarnos un precio y que luego Solver lo calcule, lo que hacemos es poner la segunda ecuación del sistema de ecuaciones indicado anteriormente. En esta segunda ecuación ya tenemos despejado P en función de C.

=+VA(D15;5;-C17)+D18/(1+D15)^5

De esta forma, lo que pediremos a Solver es calcular C y así, de paso se calcula P.

Con ecuaciones

También podemos obtener la solución planteando las ecuaciones y despejando las dos incógnitas.

Forward implícito

Puede descargar el archivo de Excel forward_implicito_01.xlsx

---

En el mercado están disponibles los siguientes bonos:

• Bono A: Letra del Tesoro de duración un año y precio de adquisición 933 €
• Bono B: Bono cupón explícito del 7% y duración 2 años que se adquiere con un descuento del 2% sobre el nominal.

Determinar el tipo de interés forward implícito para el periodo que se inicia en t=1 y finaliza en t=2 años.

---

Método 1

La clave está en la celda F21, en la que multiplicamos los flujos de caja de los bonos A y B en cruz para conseguir un flujo de caja igual a CERO. Luego copiamos la fórmula de esa celda hacia abajo.

En esta ocasión multiplicamos en cruz para conseguir anular el flujo de caja inicial del bono C. La fórmula de la celda F21, que luego copiaremos hacia abajo, es la siguiente:

=$E$21*D21-$D$21*E21

Observar que los dólares van en el sitio adecuado para conseguir que al copiar hacia abajo siempre estemos tomando una cierta combinación de bonos A y B, comprados y vendidos, con el fin de anular el flujo de caja inicial del bono C.

Método 2

Combinando los bonos A y B construimos el bono D que es un bono cupón cero a dos años, cuya TIR es r02. Luego aplicamos la fórmula:

(1+r02)^2=(1+r01)(1+r12)

Y despejamos r12 que es la incógnita.

Aplicamos la fórmula que relaciona el tipo forward con los tipos spot a un año y a dos años.

Creamos el bono D mediante réplica del bono cupón cero a dos años, empleando para ello la combinación adecuada de bonos A y B, según se ve en la fórmula de la celda F29:

=$D$29*E29-$E$29*D29

La TIR del bono D es el tipo spot (de contado) a dos años (r02). Luego simplemente hemos de despejar el tipo forward (r12). Ver la celda F34:

=(1+F32)^2/(1+D32)-1

Método 3

Consiste en inventarte el nominal del bono B, ya que el enunciado solo te dice el cupón 7% y el precio 98% ambos sobre el nominal que quieras. Eligiendo bien el nominal podemos conseguir que al restar los flujos de caja de los bonos A y B en el instante t=1, el resultado sea CERO. Este es nuestro objetivo, ya que pretendemos conseguir un bono C cuyo flujo de caja en t=0 sea cero, por tratarse de un forward r12.

Se crea un bono cupón cero que se compra en t=1 y se amortiza en t=2. Es decir, un bono (C) suma de los bonos A y B tal que el flujo en t=0 sea nulo. El forward solicitado (r12) será la TIR de ese bono.

Del bono A nos dan el precio de adquisición (933 €), y sabemos que el nominal es de 1.000 € por tratarse de una Letra del Tesoro.

En el bono B no nos dicen quién es el nominal, por lo que podemos suponer el importe que más nos interese. En este caso vamos a considerar un nominal que sea justo el necesario para que luego el precio de adquisición sea el mismo que el del bono A. Esto nos conviene para luego poder combinar cómodamente los bonos A y B y formar el bono C, de forma que el flujo de caja del bono C sea cero en t=0. 

Como el nominal del bono B podemos inventárnoslo, podemos poner el que anule el flujo en t=1 del bono A (933€) (para crear el bono C). Como el precio de compra del bono B es el nominal con un descuento del 2%, si decidimos que el nominal del bono B sea el flujo que queremos hacer cero (933€) aumentado un 2%, ya tenemos lo que queríamos.

Explicándolo con números:

BONO C = BONO B - BONO A y en t =0 el flujo del BONO C tiene que ser 0.

En t = 0: Flujo en C = Flujo en B - Flujo en A = 0 (*)

Flujo en A = -933 €
Flujo en B = Precio de compra del bono B = Nominal-(2%·Nominal) = Nominal·(1-0,02)
= Nominal·0,98

Sustituyendo en (*):
Nominal·0,98 - (-933 €) = 0,
por tanto:

Nominal = -933 € / 0,98.

Por este motivo, hacemos que la celda E17 sea:

=-D13/0,98

Lo que nos da un nominal de 952,04 €, que luego en la celda E13, al calcular el precio del bono B, podremos convertir en 933 €, utilizando la fórmula:

=-0,98*E17

Con estos valores para el bono A y B es muy sencillo calcular el bono C, de forma que sea un forward r12, esto es, con un flujo de caja cero en t=0. Esto se consigue simplemente con la fórmula de la celda F13, que es una mera resta de los flujos de los bonos A y B, y luego copiada hacia abajo. La fórmula es:

=E13-D13

Se puede interpretar diciendo que si compramos un bono B y vendemos (o emitimos) un bono A, obtendremos una cartera que es la representada por el bono C.

Finalmente calculamos la TIR del bono C que coincide con el forward implícito r12 que nos han pedido.

TIR incluyendo gastos mensuales

Puede descargar el archivo de Excel tir_con_gastos.xlsx

---

Una operación de inversión tiene una duración de 8 años. Tiene un desembolso inicial de 50.000 €, y recuperaciones de 12.000 € cada semestre. A los dos meses de realizado el desembolso inicial se han de pagar otros 2.000 euros en concepto de gastos. Calcular la TIR de la operación incluyendo los gastos.

---

En finanzas es fundamental establecer los flujos de caja con su signo en el momento justo en que vencen. Los pagos son negativos y los cobros positivos.

Si usamos la función TIR los flujos de caja han de tener una periodicidad constante. En este caso elegimos la periodicidad mensual debido a que los gastos se pagan a los dos meses del desembolso inicial. El resultado de aplicar la función TIR nos dará la TIR anual, que luego hemos de anualizar.

En la celda F13 escribimos la fórmula de la TIR con una estimación del 0%:

=+TIR(C13:C109;0)

Si no se pone ninguna estimación la función TIR de Excel utiliza un algoritmo que comienza a buscar entorno al 10%. Si la TIR fuera muy pequeña, y el algoritmo no encuentra su valor entorno al 10%, la función arroja un error. Por este motivo es muy aconsejable utilizar la estimación del 0%, cuando se trata de una TIR muy pequeña, que se puede dar con más facilidad al usar una frecuencia de cobros pagos inferior al año.

Renta geométrica fraccionada con faltas

Puede descargar el archivo de Excel renta_geometrica_fraccionada_con_faltas_01.xlsm

---

Calcular el valor final de una renta pospagable, mensual, de 10 años de duración, que experimenta incrementos acumulados cada año del 5%, y que dentro de cada año es constante. La primera mensualidad es de 1.000 €. La séptima mensualidad de cada año no se entrega. Valorar al 10% efectivo anual.

---

Creamos a mano las cuantías de los 12 primeros meses. Para el mes trece generamos la cuantía con fórmula. La celda C30 es:

=+C18*$C$14

La idea es tomar el importe pagado 12 meses antes y multiplicarlo por la razón con dólares. De esta forma conseguiremos que todos los meses sean iguales al que se pagó justo 12 meses antes pero incrementado en un 5%. La salvedad del mes 7 del primer año se repetirá todos los años.

Una vez que hemos conseguido crear la columna C con los términos de la renta el cálculo del valor final se puede realizar por varios métodos.

Método 1

En la celda F13 utilizamos la fórmula:

=+VNA(C13;C18:C137)*(1+C12)^10

Lo que hacemos es calcular el valor actual con VNA y luego capitalizar 10 años al tanto efectivo anual.

Método 2

Requiere el uso de la función programada por el usuario que denominamos VFgeo. La celda F14 es:

=+vfgeo(VF(C13;12;-1000)-1000*(1+C13)^5;C14;10;C12)

La función VFgeo se aplica sobre una renta geométrica de términos anuales. Este es el motivo por el que es necesario anualizar los términos mensuales. Los pagos mensuales se llevan a final de año.

La anualidad del primer año es:

=VF(C13;12;-1000)-1000*(1+C13)^5

Este valor se denomina C, que corresponde a la primera cuantía anual de la renta geométrica de 10 años.

Calculotes:

Audio

Mensualidad de un préstamo a tipo variable

Puede descargar el archivo de Excel prestamo_variable_01.xlsx

En este préstamo no cambia el tipo de interés cada año, sino que cambia un par de veces. Esto permite calcular la mensualidad del mes 60 sin necesidad de hacer todo el cuadro de amortización, ya que hasta el mes 60 únicamente cambia el tipo de interés en una ocasión.

Los pasos a seguir son estos:

1. Primero calculamos la primera mensualidad (a) sabiendo que el tipo de interés nominal será del 6%, con una duración de 10 años y sobre un principal de 500.000 €.
2. Calculamos el capital vivo o saldo financiero del préstamo al final del tercer año (mes 36). Calculamos C36 por el método prospectivo.
3. Calculamos la nueva mensualidad (a') que se comienza a pagar en el mes 37 y que será también la del mes 60. Para ello consideramos que debemos amortizar C36 en 7*12 meses a un tanto nominal anual del 8,10%.

Posteriormente podemos confeccionar el cuadro de amortización para comprobar resultados.

TIR incluyendo gastos

Una operación de inversión tiene una duración de 10 años. Tiene un desembolso inicial de 50.000 €, y recuperaciones de 8.000 € cada año. A los dos meses de realizado el desembolso inicial se han de pagar otros 2.000 euros en concepto de gastos. Calcular la TIR de la operación incluyendo los gastos.

Capital vivo del penúltimo periodo

Un préstamo de 800.000 €, que se contrató al 8% nominal anual, debe reembolsarse mediante n entregas trimestrales constantes (a). El Capital Vivo del trimestre n-2 asciende a 56.780,17. Calcular a y n.

---

Para calcular a con Excel podemos emplear la función PAGO y para calcular n podemos utilizar NPER.

Número de periodos de un francés

Un préstamo francés de n términos anuales se emite al 6% anual. Conocemos la cuota de amortización del 6º año que es de 1.007,79 €, y el saldo financiero al inicio del último año, que es de 1.702,64 €.
Calcular n.

Cuota de amortización del último periodo

Un préstamo italiano se concedió a 15 años a un tipo fijo del 10% nominal anual con pagos trimestrales. La última trimestralidad es de 1.000 €.
Calcular el principal.

Precio de un bono conocida la ETTI

En el mercado cotizan los siguientes bonos:


Bono A. Bono cupón cero a un año. TIR del 3%


Bono B. Bono cupón cero a dos años. TIR del 4%


Bono C. Bono cupón cero a tres años. Se adquiere por 800 € y se amortiza por 920


Bono D. Bono cupón explícito a tres años del 10% anual. Nominal 1.000 €


Calcular el precio del bono D.

Amortizaciones anticipadas periódicas y coste financiero

Se concede un préstamo francés de 600.000 €, a 15 años, con términos mensuales, a un tanto del 4,20% nominal anual. El banco permite que el prestatario efectúe amortizaciónes anticipadas al final de cualquier mes, sin aplicar comisión. El prestatario ha venido aportando 1.000 € adicionales al final del tercer mes de cada año.
Calcular:
1. La última mensualidad
2. El coste financiero del préstamo (TAE)

---

Co = 600.000
n =180
TIN = 4,20%
AA = 1.000

---

Hola,

Puede ser:

a176 = 1.527,71 €
TAE = 4,2818%
?

Un saludo y gracias.

---

Hola Javi.

La resolución que propones destina las aportaciones de la Amortización Anticipada (AA) a reducir la duración total del préstamo. De forma que ya no se amortizará en 180 meses sino en menos.

Según tu sistema, pagamos una mensualidad constante a = 4.498,50 € y después de pagar cada importe adicional (AA=1.000 ), seguimos pagando la misma mensualidad.

El sistema que yo había utilizado consistia en que despues de pagar cada aportación adicional de 1.000 euros, recalculamos el préstamo para que al final la duración total continue siendo de 180 meses. Al recalcular el préstamo, sin variar la duración total, lo que varía es la mensualidad. De forma que cada nueva mensualidad será inferior a la anterior, ya que esos 1.000 euros se destinan a reducir el Capital Vivo.

En realidad no es necesario hacer una fórmula distinta para calcular la mensualidad, despues de cada aportación adicional de 1.000 euros. Se hace una fórmula que sirve para toda la columna de la mensualidad, y se copia hacia abajo.

Para llegar a obtener esta fórmula te sugiero que veas el Post siguiente, junto con su video:

Préstamo Francés recalculado cada año


Por cierto, la TAE la tienes bien, ya que financieramente el coste de ambos métodos coincide. Además, se podría incluso calcular sin hacer el cuadro de amortización. Ya que la TAE, en este caso al no existir costes externos, se obtienen simplemente anualizando el tanto mensual efectivo (i12).

i=(1+i12)^12-1

La TIR anual te tiene que dar lo mismo que si haces esto:

TAE=i=(1+0,0035)^12-1

Esto es así debido a que en este caso no existen costes externos. Esto es, costes que

pague el prestatario y reciban otras personas ajenas al prestamista. Es lo que en finanzas

se denominan 'externalidades'.

Se comporta igual que los préstamos a tipo variable, donde partes de un tipo francés

como idea originaria, pero al variar el tipo de interés luego te cambia el término

amortizativo, y entonces ya no se cumple lo de que a=cte.Y como verás la mensualidad va disminuyendo.

En esto tipos de préstamos sucede lo mismo. Yo inicialmente firmo un préstamo francés,

y si no realizo amortizaciones anticipadas (AA=0), entonces se comporta como un

préstamo francés puro, toda la vida del préstamo, ya que además supongo que el tipo de

interés es fijo (i=cte). Pero como me dejan amortizar anticipadamente, entonces al

realizar el pago adicional he de racalcular, al igual que he de recalcular en el caso de un

préstamo a tipo variable.

En un préstamo a tipo variable yo no conozco como variará el Euribor en el futuro, y por

tanto, cada vez que cambia he de recalcular la mensualidad. Y aquí sucede lo mismo,

cuando yo firmo el préstamo no se lo que aportaré en forma de Amortización Anticipada

en el futuro. De esta forma, cada vez que entrego un pago adicional, he de realcualar, y

si no cambia el plazo, entonces necesariamente ha de disminuir la mensualidad.

¿Cómo hacer la serie de la Amortización Anticipada?

Aprovechando este correo explicaremos como hacer la columna de Amortización Anticipada sin tener que ir poniendo a mano los importes de 1.000 euros en el tercer mes de cada año.

Primero

Haces a mano los 12 primeros meses. Puedes poner ceros o dejar las celdas vacías, salvo la del tercer mes, donde van los 1.000 euros.

Segundo

Seleccionas con el ratón las celdas correspondientes a los 12 primeros meses. Pones el cursor del ratón en la esquina inferior derecha de ese rango que tienes seleccionado. Pulsas la tecla CONTROL, verás que junto al cursor aparece un signo +. Sin soltar la tecla CONTROL arrastra hacia abajo, hasta llegar al final del cuadro. Y ya está.

Resolución

Dos capitales Vivos de un Préstamo Francés

Se concede un préstamo francés de términos amortizativos mensuales, al 4,20% nominal anual. Conocemos los capitales vivos al final de los meses 40 y 100, que son 497.212,076531941 y 313.412,818130387.
Calcular:

1. El importe de la mensualidad constante
2. El principal del préstamo
3. La duración del préstamo

TIN = 4,20%
C40  = 497.212,076531941
C100 = 313.412,818130387

Solución

dos_cap_vivos.xlsx