Sensibilidad de un Bono

Cuando hablamos de Sensibilidad de un Bono nos referimos a la Sensibilidad del Bono respecto a los tipos de interés. Queremos saber cómo se comportará el precio de un bono ante las variaciones de su rentabilidad medida por su TIR.

Sabemos que precio (P) y rentabilidad (r) se mueven en sentido contrario, pero nos gustaría saber en que magnitud. Nos gustaría poder comparar dos bonos y saber cuál de ellos es más sensible.

 La curva siguiente nos muestra el comportamiento de estas dos magnitudes: Precio y Rentabilidad.

Esta curva no es una línea recta, por lo que no existe proporcionalidad o linealidad entre ambas magnitudes. Pero podemos tomar una aproximación lineal a la curva. Para ello tenemos que utilizar algo la matemáticas. Tenemos que derivar en una variable.

El precio de un bono es:

donde

• Ct son los Flujos de Caja que paga el Bono desde t=1 hasta t=n.
• r es la rentabilidad del Bono medida por su TIR

Ahora derivamos el Precio (P) respecto a la TIR (r).

puesto que sabemos que la Duración es:

podemos obtener la siguiente expresión:

El término de la izquierda dP/P es la variación porcentual del Precio.
D es la Duración de Macaulay
D/(1+r) es la denominada Duración Modificada
dr es la variación de la rentabilidad
Y el signo menos es importante, ya que nos indica que precio y rentabilidad se mueven en sentido contrario.

A efectos de aplicación práctica, los diferenciales anteriores se toman como incrementos, y así obtenemos una expresión, que ya no es una igualdad sino una expresión en términos aproximados.

La expresión anterior se puede leer en palabras de la siguiente forma:

La variación porcentual del precio en un bono es aproximadamente igual a la duración modificada multiplicado por la inversa de la variación de su rentabilidad.

La aproximación es tanto mejor cuanto menor sea la variación de la TIR que tomemos.

Gráficamente lo que estamos haciendo es la típica aproximación lineal a una curva en un punto, que es lo que vimos en su día cuando nos explicaron el concepto de derivada.

En la práctica financiera se toman centésimas partes de punto 1%/100, que se denomina punto básico.

1 pb = 1% / 100

Un punto porcentual son 100 puntos básicos (100 pb).

Pongamos un ejemplo. Supongamos que un bono, cuya duración modificada es 3, experimenta una reducción en su rentabilidad de un 1%, esto es, 100 pb. En este caso la variación porcentual del precio es:

∆P/P ≈ - 3 * (-1%) = 3%

Esto quiere decir que la variación porcentual del precio (∆P/P) es del 3%. Por tanto, en términos aproximados el precio del bono se incrementa un 3% por cada 1% que caiga su rentabilidad.

Vemos perfectamente, gracias al signo menos, que precio y rentabilidad se mueven en sentido contrario.

Además, estamos comprobando que la duración modificada (D/(1+r)) hace el papel de multiplicador y que simplemente conociendo su valor podemos comparar dos bonos. De esta forma, si tenemos un bono, como el anterior, que llamaremos Bono A, cuya duración modificada de 3, y otro, Bono B, que la tiene de 10, es claro que el de mayor duración modificada será el más sensible. El Bono B ante una reducción del 1% en su TIR, experimentará un incremento porcentual del Precio del 10%, aproximadamente.

Estos sencillos cálculos mentales, permiten a los operadores de Renta Fija, conocer la sensibilidad de un bono simplemente mirando las pantallas de Reuters o de Bloomberg que les proporcionan este dato.

Duración de Macaulay

Puede descargar el archivo de Excel v_bonos06.xlsx

La Duración de Macaulay es un concepto que mide la duración media de un Bono. Es una media que se obtiene ponderando por el peso de los diferentes flujos de caja descontados.

La fórmula es:

r es la TIR del bono

Ct son los flujos de caja en cada instante t, desde t=1 hasta t=n.

El denominador es el Precio del Bono.

El numerador es muy parecido al denominador. Simplemente se ha de multiplicar por t, que es el tiempo. De esta forma los flujos de caja descontados actúan como ponderador.

La Duración de Macaulay, o simplemente Duración, es la típica fórmula de la media ponderada, y la unidad temporal en la que viene dada son años, si los flujos son anuales. Si los flujos fueran mensuales, tendríamos que trabajar con la TIR mensual y en ese caso la duración resultante vendría expresada en meses.

La Duración Modificada es igual a la duración de Macaulay dividida entre (1+r), siendo r la TIR del bono. Es útil para medir la Sensibilidad del Bono ante las variaciones de los tipos de interés. Será más sensible aquel bono de mayor duración.

Si usted prevé que las rentabilidades del mercado de renta fija caerán, ¿en que bono invertirá?, ¿en uno de corta duración o en otro de larga duración?. Puesto que precio y rentabilidad se mueven en sentido contrario, si la rentabilidad cae, sube el precio, por tanto nos interesará invertir en el bono de mayor duración, para aprovechar una mayor subida del precio. Pero si nos equivocamos en nuestras previsiones, el precio caerá, y lo hará de forma más acusada el precio del bono de mayor duración. Por eso, decimos que el bono de mayor duración es más sensible ante las variaciones de los tipos de interés.