Tanto instantáneo y capitalización continua

Puede descargar el archivo tantoInstantaneo.xlsx

Aquí puedes descargar un PDF que explica cómo obtener el tanto instantáneo y cómo se utiliza.

• Capitalizacion_continua.pdf

También podemos ver una aproximación intuitiva al número e usando el ejemplo de la capitalización.

• El número e, función exponencial y logaritmos en Excel
• Capitalización continua y número e

Tanto medio de 7 años

Calcular el tanto medio de una operación de capitalización expresado en tanto efectivo anual. La operación financiera parte de un capital inicial C que durante los dos primeros años se capitaliza al 5,30% efectivo semestral, durante los dos años siguientes se capitaliza al 10,50% nominal anual con pago de intereses mensual. Durante los dos años siguientes se capitaliza al 1,05% efectivo mensual, y durante el último año se capitaliza al 3,0% efectivo trimestral. La duración total de la operación es de 7 años.

---

Audio

Fraccionado 12 o 2

Un inversor dispone de C euros que desea capitalizar durante 20 años a interés compuesto. El banco A ofrece un tanto nominal anual del 12,0% con fraccionamiento mensual. El banco B ofrece el mismo tanto pero con fraccionamiento semestral. Calcular C sabiendo que la diferencia de montantes entre ambos bancos es de 800 €.

---

Resolviendo con ecuaciones.

M_A-M_B=800

C*1,1268...^20-C*1,1236^20=800

Despejando C:

C= 800 / (1,1268...^20-1,1236^20) = 1.318,31 €

OTRO MÉTODO

Sin necesidad de calcular el tanto efectivo anual para ninguno de los dos bancos.

M_A-M_B=800

C*1,01^240-C*1,06^40=800

Sacamos factor común C:

C*(1,01^240-1,06^40)=800

Despejando C:

C= 800 / (1,01^240-1,06^40) = 1.318,31 €

Problemas resueltos de tantos equivalentes

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

1. Mismo tanto nominal, distinto montante
   
2. Conversión de tantos
   

Tanto medio

Puede descargar el archivo de Excel Tanto_medio.xlsx

Ejemplo

Supongamos una operación de capitalización compuesta a dos años donde los tipos de interés son los siguiente:

1. Primer año: i⁽¹⁾=5% anual
2. Segundo año i⁽²⁾=15% anual

Deseamos conocer el tanto medio equivalente i_M que es el tanto que da lugar al mismo montante que los tantos anteriores pero aplicado de forma constante durante los dos años.

Vamos a capitalizar de dos formas diferentes, partiendo de un capital inicial en ambas de 1 euro, y durante el mismo tiempo, dos años.

1. Primero vamos a capitalizar "del tirón", de una sola vez, durante los dos años, empleando el tanto de interés fijo i_M. El montante al que llegaremos será: (1+i_M)².
2. Luego vamos a capitalizar empleando de forma sucesiva los dos tantos. Si partimos de 1 euro y capitalizamos el primer año, llegamos a un montante, en t=1, que es (1+i⁽¹⁾)=(1+0,05). Si usamos ese importe de 1,05 € y lo capitalizamos el segundo año usando el tanto de 15%, obtendremos al final, en t=2, un montante que será: (1+i⁽¹⁾)*(1+i⁽²⁾)=1,05*1,15

Si igualamos los montantes obtenidos obtendremos la ecuación siguiente:

(1+i_M)²=1,05*1,15

Si despejamos i_M obtenemos su valor:

i_M = (1,05*1,15)^(1/2)-1

i_M = 0,098863 = 9,8863% anual

Concepto de Tanto Medio

En una operación de capitalización que dure varios periodos podemos calcular el montante final de dos formas:

1. Aplicando un tanto de interés constante (i) en capitalización compuesta. Llegamos a un montante dado por la ley de la capitalización compuesta: Cn=Co(1+i)ⁿ
2. Podemos aplicar un tanto variable, que puede llegar a ser diferente en cada uno de los n periodos que dura la operación. Supongamos que los tantos aplicables en cada periodo son los siguientes: i⁽¹⁾, i⁽²⁾, i⁽³⁾, ..., i⁽ⁿ⁾. El montante al que se llega aplicando reiteradamente la ley de capitalización compuesta es: Cn=Co(1+i⁽¹⁾)(1+ i⁽²⁾)(1+ i⁽³⁾) ··· (1+i⁽ⁿ⁾) 

El tanto medio (i_M) es aquel tanto que aplicado de forma constante a todo el periodo consigue llegar al mismo montante que aplicando diferentes tantos a lo largo de esos periodos, todo ello en capitalización compuesta.

El tanto medio es aquel que iguala los montantes indicados anteriormente:

1. Cn=Co(1+i_M)ⁿ 
2. Cn=Co(1+i⁽¹⁾)(1+ i⁽²⁾)(1+ i⁽³⁾) ··· (1+i⁽ⁿ⁾) 

Factor

En finanzas se define el Factor como (1+i), esto es, como uno más el tanto. Es un nombre adecuado porque justamente (1+i) es lo que va multiplicando a un capital inicial para llegar a un capital final, durante un periodo. Si en lugar de un periodo fueran n periodos se tendría que multiplicar el capital inicial por (1+i), n veces, tantas como periodos tengamos. Si el tanto i utilizado siempre es el mismo, al multiplicar n veces el factor (1+i) se obtiene el famoso (1+i)ⁿ de la ley de capitalización compuesta.

Pero si el tanto i no es constante sino que puede variar, aplicándose un tanto diferente cada periodo se llega a la fórmula

Expresión con la que podemos calcular el capital final Cn sin más que multiplicar el capital inicial por los diferentes factores que se forman a tipo variable. Para denotar los diferentes tantos hemos utilizado superindices metidos entre paréntesis para que no se confundan con una potencia.

Por simplificar, podemos partir de un capital inicial de1 euro. En ese caso, el montante final al que se llegaría usando los diferentes tantos variables o bien usando un tanto constante (Tanto Medio) se pueden igualar ya que el tanto medio produciría el mismo resultado que aplicar diferentes tantos a los largo de los n periodos.

Igualando obtenemos la expresión:

Esta expresión se puede poner en forma resumida usando el símbolo matemática de PRODUCTO que es una letra PI mayúscula.

Ahora despejamos el Tanto Medio y obtenemos la siguiente expresión:

Conviene ver el siguiente vídeo que lo resuelve en Excel por varios métodos.

Problemas resueltos

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

• Tanto Medio
• Tanto medio a 4 años
• Tanto medio de varios tramos
• Tanto medio de 7 años
• Tanto medio equivalente
• Tanto medio de dos tantos

Tanto efectivo y tanto nominal

Tantos equivalentes

Dos tantos son equivalentes cuando aplicados al mismo capital (Co), durante el mismo tiempo (n) producen los mismos intereses o se llega al mismo montante (Cn).

Simplificando el tema podemos tomar como capital inicial 1 euro, y como periodo un año. Así, diremos que dos tantos son equivalentes si aplicados durante un euro y durante un año llegan al mismo montante.

Tantos equivalentes en capitalización compuesta

En capitalización compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial. Esta afirmación es la que vamos a demostrar seguidamente. La demostración se hará acudiendo a conceptos financieros y es interesante entenderla, y no solo aprendernos la fórmula resultante.

Vamos a capitalizar un capital inicial de 1 euro, durante 1 año de dos formas distintas

Método 1

Capitalizando el euro durante un año de una sola vez aplicando el tanto anual i.
El montante al que llegamos será: (1+i)

Método 2

Dividimos el año en m subperiodos. Por ejemplo, si fueran meses, entonces m sería 12.
Partimos de un capital inicial de 1 euro que vamos a ir capitalizando reiteradamente en capitalización compuesta, durante los m subperiodos. Cada subperiodo se capitaliza al tanto im que es el tanto relativo a ese subperiodo. Si los subperiodos fueran meses entonces im sería i12.

Veamos cómo evoluciona el capital a lo largo de los m subperiodos.

• Partimos en t=0 de un capital Co=1 €
• En t=1 subperiodo hemos llegado a un capital (1+im)
• En t=2 subperiodos hemos llegado a un capital (1+im)^2
• En t=3 subperiodos hemos llegado a un capital (1+im)^3
• .... / ...
• En t=12 subperiodos hemos llegado a un capital (1+im)^12

Recapitulemos:

• Montante alcanzado por el método 1: (1+i)
• Montante alcanzado por el método 2: (1+im)^m

Recordemos el concepto de tantos equivalentes:
Para que i e im sean tantos equivalentes han de llegar al mismo montante se se aplican ambos a un euro, durante un año.

Por tanto para que i e im sean tantos equivalentes se ha de cumplir que:

(1+i)=(1+im)^m

Expresión que vamos a escribir elegantemente con el editor de ecuaciones:

Ahora vamos a despejar i en función de im, e im en función de i.

Tanto Efectivo

AMBOS TANTOS: i e im son tantos EFECTIVOS. Uno es el efectivo anual (i) y el otro es el efectivo del subperiodo (im). En definitiva, podemos decir que existen dos tantos efectivos: i e im. Los tantos efectivos siempre son equivalentes entre si.

Ejemplo

Nos dan los siguientes datos:

• Periodo: año
• Subperiodo: mes. Por tanto sabemos que m=12
• Nos dicen que i12=1% efectivo mensual

Nos piden calcular i que es el tanto efectivo anual equivalente al 1% efectivo mensual.

Solución

i=(1+i12)^12-1=(1+0,01)^12-1=1,01^12-1=0,1268...=12,68% efectivo anual


Tanto nominal

El tanto nominal no se deduce lógicamente, simplemente se define como veremos seguidamente.

El tanto nominal se denomina jm y se define como m veces im.

La frase anterior se puede expresar mediante la siguiente fórmula.

¿Por qué existe el tanto nominal si no se deduce lógicamente de nada?

Existe porque se utiliza en la práctica financiera. La banca lo utiliza, y muchas operaciones financieras lo manejan, por ello nosotros debemos conocerlo bien.

Lo cierto es que la relación entre jm e im es una relación de proporcionalidad (lineal) que nos recuerda enormemente a los tantos equivalentes en capitalización simple. Recordar que en simple los tantos se relacionan de forma proporcional.

Otro tema a tener presente es que el tanto nominal jm es una aproximación lineal al tanto efectivo i. En la época en la que no se disponía con facilidad de ordenadores, e incluso en la época en la que no había calculadoras, hacer la operación 1,01^12 de forma manual no era sencillo. Aunque es cierto que existían tablas financieras.

Sea como fuere actualmente, en la época de los ordenadores se sigue utilizando el concepto de tanto nominal, aunque realmente no aporta nada a la construcción de una teoría matemática de las finanzas coherente. Con el tanto efectivo hubiera bastado.

Ejemplo

Veamos un ejemplo para intentar comprender porqué se sigue utilizando el tanto nominal y su efecto psicológico en el ciudadano medio que no tiene grandes conocimientos financieros.

Supongamos que un banco anuncia en un cartel o valla publicitaria una cuenta de alta remuneración. Exageremos un poco el tipo de interés, y supongamos que la cuenta proporciona una rentabilidad del 1% mensual en capitalización compuesta, con recálculo mensual de intereses.

En este caso, el periodo es el año, el subperiodo el mes, m es 12. Sabemos que i12 es el 1% efectivo mensual. Veamos quien es el tanto efectivo anual (i):

i = (1+im)^m-1 = (1+0,01)^12-1 = 1,01^12-1 = 12,68% efectivo anual.

Veamos quien es el tanto nominal (j12):

j12=12*î12 = 12*0,01 = 0,12 = 12% nominal anual.

El cartel puede ser uno de los dos siguientes, ¿cuál cree usted que será el cartel que elija el banco para publicitar esta cuenta de alta remuneración?

Ambos carteles proporcionan correctamente la información, pero psicológicamente es más llamativo ver una remuneración del 12,68% que otra del 12%, siendo en realidad ambas iguales ya que en un caso se trata de un 12,68% TAE (Tasa Anual Equivalente) que es nuestro tanto efectivo anual, y en el otro caso se trata de un 12% TIN (Tipo de Interés Nominal), que es nuestro tanto nominal anual, j12.

Supongamos ahora que lo que tratamos de publicitar es un préstamo hipotecario, e imaginemos que los tipos de interés son también del 1% mensual, con capitalización mensual. Esto es, los tipos son los mismos que los del ejemplo anterior pero en este caso lo que hacemos es ofertar una operación de préstamo.

¿Cuál de los dos carteles siguientes piensa usted que elegirá el bando para publicitar el préstamo?

Ambos carteles son correctos y anuncian el mismo tipo de interés, pero tratándose de un préstamo psicologicamente es más atrayente el 12% que el 12,68%.

Un caso real

Existe un banco por internet llamado iBanesto que actualmente tiene esta publicidad en su web.

Abajo de esa página de publicidad pone en letra más pequeña:

(*) TAE 3,40% TIN anual de 3,35%

Vamos a comprobar si los cálculos son correctos.

Tenemos que comprobar si es cierto o no que un tanto efectivo anual i=3,40% es lo mismo que un tanto j12=3,35% efectivo anual.

Partimos del j12 y calculamos i12

i12 = j12/12 = 3,35%/12 = 0,279166666666667% efectivo mensual

Ahora calculamos el tanto efectivo anual:

i = (1+i12)^12-1 = (1+0,00279166666666667)^12-1 = 3,401918%

que redondeando es igual a 3,40% efectivo anual, por lo que podemos decir que el cálculo es correcto.

---

Puede ver los siguientes vídeos para aprender a calcular los tantos efectivos del periodo y del subperiodo y el tanto nominal

Audio

Tantos Equivalentes a interés compuesto

Concepto de tantos equivalentes

Dos tantos se dice que son equivalentes cuando aplicados a la misma cuantía (Co), durante el mismo tiempo (n), producen los mismos resultados (Cn).

En capitalización compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial. Esto es debido a que en compuesta los intereses se capitalizan y se hacen productivos, produciendo a su vez nuevos intereses.

1. Definimos el periodo, normalmente el año.
2. Definimos el subperiodo, que es la parte en la que dividimos el periodo. Pueden ser meses, o semestes, etc.
3. Calculamos la frecuencia m, que es el número de subperiodos que hay en el periodo. Así, por ejemplo, si el periodo es el año y el subperiodo el mes, entonces m=12, ya que hay 12 meses en un año.
4. Aplicamos el concepto de tantos equivalentes en capitalización compuesta, durante 1 años y partiendo de un capital incial de 1 euro.
5. Capitalizando todo el año de golpe ('del tiron') a un tanto i, el montante al que se llega es (1+i).
6. Capitalizando un subperiodo usando el tanto relativo al subperiodo que es im, se llega a un montante de (1+im). Capitalizando un nuevo subperiodo, y aplicando capitalización compuesta, llegamos a (1+im)^2. Al final del tercer subperiodo, habremos llegado a (1+im)^3. Y al final del año, que es el final del subperiodo m, habremos llegado a un montante que es (1+im)^m.
7. Por el concepto de tantos equivalentes, igualamos los montantes alcanzados por ambos métodos, ya que si queremos que sean tantos equivalentes han de tener que llegar al mismo montante. (1+i)=(1+im)^m
8. De la fórmula anterior podemos despejar i en función de im, y también podemos despejar im en función de i, que son las dos expresiones que conviene recordar para trabajar con tantos equivalentes: i=(1+im)^m-1 y la otra: im=(1+i)^(1/m)-1.
9. Hasta ahora no ha aparecido el concepto de tanto nominal, y realmente podría no hacerlo y las matemáticas financieras conceptualmente no se resentirían lo más mínimo. Pero, sucede que en la realidad financiera la banca utiliza este concepto y nosotros debemos conocer su significado y debemos aprender a manejarlo.
10. El tanto nominal se denota por jm y se define como m veces im. Fórmula: jm=m*im. Si te das cuenta es hacer lineal lo que no lo es. Me explico. En capitalización compuesta hemos dicho que los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial, y resulta que ahora introducen un concepto que lo que hace es trabajar de forma proporcional (de forma lineanl). Por ejemplo, si m=12, i12=1% mensual, enconces j12=1*1%=12% nominal anual. Lo cual lo que está haciendo es confundir a la gente, que pueden llegar a pensar que un 1% mensual es equivalente a un 12% anual. Cosa que en capitalización simple es cierto, pero en compuesta NO. En capitalización compuesta el equivalente a un 1% mensual es: i=(1+im)^m-1 = (1+0,01)^12-1 = 12,68..% efectivo anual. Como se ve, el efectivo es mayor que el nominal.
11. Al aplicar la ley de capitalización COMPUESTA Cn=Co(1+i)^n siempre debemos utilizar tantos efectivos. Nunca uses dentro de esa fórmula un tanto nominal, porque lo que obtendrá no será correcto. Ejemplo: Co=100, n= 18 meses, i12=1% mensual. Podemos calcular Cn así: Cn=100(1+0,01)^18, o bien podemos calcular el tanto anual equivalente: i=12,68% y luego trabajar con el exponente en años: Cn=100(1+0,1268..)^1,5 (ya que 18 meses es 1,5 años). Pero jamas digas que: Cn = (1+0,12)^1,5 porque en ese caso estará mal ya que has tomado el tanto nominal j12=12% nominal anual.

Por tanto, podríamos vivir mucho mejor si no existiera el concepto de tanto nominal, pero como la banca lo usa, nosotros debemos entenderlo.

En los años 80, cuando comenzaron a establecerse las leyes en defensa de los consumidores, el Banco de España introdujo, mediante circular, el concepto de TAE (Tanto Anual Equivalente). Este concepto coincide básicamente con el concepto de tanto efectivo anual (i), y además coincide con el concepto de TIR, que en realidad también es un tanto efectivo anual. El Banco de España obliga a incluir dato de la TAE en toda información financiera se se emita. Por ejemplo, al financiar un coche, o al anunciar una cuenta bancaria o un depósito financiero.

Ejemplo

Mira la página de este banco:

http://www.ibanesto.com

Tienen una cuenta que llaman cuenta Azul, pincha en el enlace y verás que te explican que da un 3,10% TAE. Observa el asterisco y el texto que viene debajo. Pone lo siguiente:

"(*)TAE 3,10% calculada para cualquier importe a partir de 1 céntimo de €, tipo nominal anual de 3,06%"

Comprueba que es verdad, y verás que efectivamente sale una TAE del 3,06% redondeando a dos  decimales.

---

Los conceptos de tanto efectivo y tanto nominal son propios de la ley de capitalización compuesta.

En compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial (no lineal como sucede en simple). La demostración está en el Libro, y se basa en lo siguiente:

Vamos a capitalizar 1 € durante un año de dos forma.

1. De un tirón durante un año al tanto i anual. El montante alcanzado es (1+i).
2. Fraccionando el año en subperiodos. Vamos a fraccionar el año en m partes iguales. Por ejemplo, si fraccionamos en meses entonces m=12. Partimos de 1 € y calitalizamos un subperiodo. El montante alcanzado será (1+im), ya que el tanto aplicable es el del subperiodo (im). Capitalizando un segundo subperiodo llegamos a un montante (1+im)^2. Al tercer subperiodo llegamos a (1+im)^3. Al cabo de un año (que son m subperiodos), se llega a un montante de (1+im)^m

Dos tantos son equivalenes si aplicados al mismo capital (en este caso 1 €), durante el mismo tiempo (en este caso 1 año), producen el mismo montante. Por tanto para hacer que los tantos i e im sean equivalentes se ha de cumplir que sus montantes son iguales:

(1+i)=(1+im)^m

De la expresión anterior se puede despejar el tanto efectivo anual i:

i=(1+im)^m-1

Ejemplo: Si trabajamos con fraccionamiento mensual, m=12, y nos dicen que el tanto mensual es del 1%. Entonces i12=1% efectivo mensual. Nos piden calcular el tanto efectivo anual equivalente. Nos piden i.

i=(1+0,01)^12-1=0,1268...=12,68% efectivo anual.

Se observa que es más de un 12%, que sería un comportamiento lineal (12*1%), debido a que en capitalización compuesta los intereses se hacen productivos y generan a su vez nuevos intereses.

Veamos la evolución del capital (1 €) desde el instante t=0, hasta el final del año, t=12 meses, capitalizado reiteradamente al 1% mensual.

1
1,01
1,0201
1,030301
1,04060401
1,05101005
1,06152015
1,07213535
1,08285671
1,09368527
1,10462213
1,11566835
1,12682503

Observar que el montante final alcanzado es 1,12682503 que menos el euro de capital inicial nos da unos intereses de:

0,12682503

Que es justo el tanto efectivo anual i.

Audio

Renta valorada con el tanto efectivo de su periodicidad

En el tema de Rentas y en el resto de la asignatura SIEMPRE utilizaremos capitalización compuesta.

Cn=Co*(1+i)^n

O esta misma fórmula para descontar:

Co=Cn*(1+i)^-n

Todas las fórmulas financieras (VA, VF, TASA, NPER, VNA, TIR) trabajan en capitalización COMPUESTA.

En cuanto a si debemos valorar las rentas utilizando el tanto nominal o el tanto efectivo, podemos decir que todas las fórmulas deben usar el tanto efectivo del periodo con el que se produce la renta. 

• Si la renta es de periodicidad mensual, el tanto de valoración debe ser el efectivo mensual
• Si la renta es de periodicidad trimestral, el tanto de valoración debe ser el efectivo trimestral
• Si la renta es de periodicidad semestral, el tanto de valoración debe ser el efectivo semestral
• Si la renta es de periodicidad anual, el tanto de valoración debe ser el efectivo anual

En las fórmulas financieras de valor actual o final de una renta nunca uses un tanto nominal.

¿Pero qué sucede si en un problema nos dan un tanto nominal como dato?.

Lo que debemos hacer en ese caso es calcular el efectivo y trabajar con él.

Ejemplo

Nos dan como dato en una renta mensual un tanto nominal anual del 6%. Pues en este caso sabemos que:

j12=6% nominal anual.

Y debemos calcular el efectivo mensual:

i12= j12/12 = 0,5% efectivo mensual.

Es con el i12 con el que trabajaremos en las fórmulas financieras.

Tanto medio

Una operación de capitalización a interés compuesto variable se pacta durante 10 años. El primer año se aplica el 2%, el segundo el 3% y así sucesivamente, con incrementos de un punto hasta llegar al decimo año, en el que se aplica un 11% anual. Determinar el tanto medio equivalente.

---

• Explicación con voz.
  
• Ver la explicación teórica: Tanto medio
• Ver el problema 1.9 del Libro de Cálculo Financiero.

Método 1

Utilizando la función PRODUCTO podemos multiplicar las celdas de un rango. En este caso el rango son los factores.

El producto de esos 10 factores nos daría el capital final obtenido durante esos 10 años supuesto que hubiéramos invertido 1 euro. Ese mismo montante es el que se hubiera obtenido trabajando durante 10 años con un tipo constante que llamamos Tipo Medio. Y de esa igualdad podemos despejar el tipo medio.

No olvidar luego elevar a (1/n) y finalmente restar 1.

El factor es uno más el tipo de interés (1+i).

Una operación a n años a tipos variables i(1), i(2), i(3),....,i(n) da lugar al siguiente montante:

Cn=Co*(1+i(1))*(1+i(2))*(1+i(3))*...*(1+i(n))

Esa misma operación a un tipo medio iM da lugar al siguiente montante:

Cn=Co(1+iM)^n

Igualando montnates Cn=Cn, vemos que Co se va con Co, y nos queda:

(1+iM)^n = (1+i(1))*(1+i(2))*(1+i(3))*...*(1+i(n))

Expresión que se corresponde con una media geométrica de montantes.

si despejas iM obtienes lo siguiente:

iM =[ (1+i(1))*(1+i(2))*(1+i(3))*...*(1+i(n)) ] ^ (1/n) - 1

El tanto medio se puede calcular como la raiz enésima del producto de todos los factores a tipo variable menos 1.

Método 2

En Excel existe una función que calcula la media geométrica. Está dentro de la categoría de funciones estadísticas y se llama =MEDIA.GEOM.

=MEDIA.GEOM(número1;número2; ...)

La media geométrica se utiliza para calcular medias de magnitudes que se acumulan por producto, como por ejemplo los índices, o en nuestro caso, los factores financieros.

El resultado de aplicar la Media Geométrica nos dará el Factor Medio. Para calcular el Tanto Medio debemos restar 1 al Factor Medio.


Método 3

La función =VF.PLAN permite calcular el montante al que se llega partiendo de un capital inicial y aplicando una serie de tasas variables en el tiempo.

=VF.PLAN(capital;plan_serie_de_tasas)

No olvidar luego elevar a (1/n) y finalmente restar 1.

La fórmula es:

=VF.PLAN(1;C14:C23)^(1/10)-1

Como ves Co se va con Co, por lo que puedes trabajar con 1 euro.

Mismo tanto nominal, distinto montante

Disponemos de un millón de euros para capitalizar a interés compuesto durante 10 años. El banco A ofrece una rentabilidad del 12% nominal anual con fraccionamiento semestral. El banco B ofrece una rentabilidad del 12% nominal anual con fraccionamiento mensual. Calcular la diferencia de montantes que se obtendría invirtiendo en uno y otro banco.

---

Trabajamos con tantos Efectivos y Nominales en este archivo de Excel: TantosEfectivos.xlsx

Tanto anticipado

En una operación de capitalización compuesta el tanto de interés anticipado es del 18,10% anual. Determinar el tanto de interés normal o pospagable equivalente.

---

Indicación para tratar los intereses prepagables.

En el Libro (pag. 23) tienes un ejemplo y las fórmulas. El tanto anticipado es i* y el tanto normal es i.

La relación que existe en capitalización compuesta es:

(1+i)=1/(1-i*)

De esa fórmula puedes despejar la i o la i*.

---

Los intereses normalmente se pagan al final del periodo. Lo habitual es que pidas un euro prestado a un año y que transcurrido ese año devuelvas (1+i) euros. Estos son los intereses pospagables o normales, y si no se dice lo contrario se supone que así son todos los intereses.

Existen también otros intereses menos habituales que son los intereses anticipados que se pagan al inicio de la opeación, en t=0. El tanto de interes anticipado o prepagable se suele denotar como i*. En este caso, pedimos un préstamo de 1 euro, pero como nos hacen pagar los intereses por adelantado, lo que realmente percibimos en t=0 es (1-i*), y transcurrido un año, en t=1, nos comprometemos a devolver 1 euro.

En base a la imagen anterior podemos comparar los dos sistemas. En el instante inicial (t=0) comparo lo que percibo en ambos sistemas, y en el instante final (t=1) lo vuelvo a comparar. Esto se hace mediante una proporción:

---

¿Habría alguna diferencia entre una capitalización simple y una compuesta?

Si existe diferencia.

En la compuesta, que es la del problema, la igualdad se saca igualando Cn/Co, por lo que haciendo raíz n-ésima en ambos miembros obtienes (1+i)=1/(1-i*).

Sin embargo, en la simple, haciendo la misma igualdad, acabas obteniendo:

(1-i*n)=1/(1+in)

Efectivamente, la relación ente el tato de interés normal i y el anticipado i* en capitalización compuesta no depende de la duración de la operación, no depende del valor de n.

El ejemplo típico es que un i* del 20% equivale a un i del 25%. Es como la equivalencia entre grados Centígrados y grados Farenheit, que no depende de terceros factores.


Por el contrario en capitalización simple la relación que liga i con i* depende de n, lo que quiere decir que depende de la duración de la operación financiera. Por lo que no es una relación pura entre únicamente dos variables.

Por cierto, el tanto de interés anticiapado de la capitalización SIMPLE es absolutamente análogo al tanto de descuento d del descuento simple comercial. En realidad son el mismo concepto con diferentes nombres. Puedes hacer la prueba, ¿a que tanto i equivale un tanto de descuento d del 20%?.