Valoración con la ETTI

Puede descargar el archivo de Excel valora_con_ETTI_01.xlsx

En un mercado de renta fija cotizan los siguienes bonos
Bono A: es un bono cupón cero a un año que se adquiere por 100 y se amortiza por 110
Bono B: es un bono cupón cero a dos años con TIR del 9% y precio de adquisición de 500 €
Bono C: es un bono cupón cero a tres años con TIR del 8% y nominal de 1.000 €
Calcular el precio de un bono a tres años de cupón anual de 70 € y nominal de 1.000 €.

En color rosa ponemos los datos del problema y en color naranja la solución.

El procedimiento de resolución es el siguiente:

1. Creamos una tabla con los años de cero a tres. El instante cero es el momento de adquisición, o momento actual.
2. Ponemos o calculamos los flujos de caja de los bonos A, B y C.
3. Ponemos los flujos de caja del bono D, salvo el precio de adquisición que es la incógnita
4. Creamos la columna de la ETTI. Los valores de la ETTI son las rentabilidades de los bonos cupón cero a 1, 2 y 3 años.
5. Creamos una columna auxiliar con el factor de descuento
6. Calcular el precio del bono D se puede resolver con la función SUMAPRODUCTO. La fórmula de la celda F11 es la siguiente: =-SUMAPRODUCTO(F12:F14;H12:H14)
7. Si lo deseamos podemos comprobar los precios ya conocidos de los bonos A, B y C utilizando también la ETTI con la función SUMAPRODUCTO. Esto se hace en la fila 18.

El motivo de que utilicemos la ETTI es que el precio del bono se calcula descontando cada flujo de caja al tanto que opera en el mercado para cada plazo. Así, el primer flujo de caja de 70 € se descontará durante un año al 10%, el segundo flujo de caja de 70 € se descontará durante 2 años al 9%, y el tercer flujo de caja de 1.070 € se descontará durante 3 años al 8%.

Cálculo del precio de un bono con la ETTI

Puede descargar el archivo de Excel precio_etti.xlsx

La ETTI es la Estructura Temporal de los Tipos de Interés,o también denominada Curva de Tipos.

Nos proporciona los tipos de interés a los diferentes plazos. Se forma con las rentabilidades de los Bonos Cupón Cero a esos plazos.

Ejemplo

En un mercado de bonos la ETTI a un año es del 8%, a dos años del 9%, y a tres años del 10%. Calcular el precio de un bono cupón explícito del 5%, de nominal 1.000 €, que madura a los 3 años.

La ETTI viene dada por la siguiente tabla.

Y su gráfico pudiera ser el siguiente.

Podemos representar gráficamente el bono con sus flujos de caja y los tantos de valoración de la ETTI.

El cálculo del precio del bono se realiza con la siguiente operación.

Para resolver este caso en Excel seguimos estos pasos:

1. Necesitamos una columna con los años, desde el instante t=0 hasta t=3. Columna B
2. Escribimos todos los flujos de caja de los instantes t=1, 2 y 3. La celda correspondiente al instante t=0 es nuestra incógnita. Esa celda (de color amarillo) será la que contenga el precio del bono.
3. Creamos una columna con los valores de la ETTI, desde t=1 hasta t=3
4. Creamos una columna adicional con el denominado Factor de Descuento. La celda E6 es: =+(1+D6)^-B6. Y se copia hacia abajo
5. El precio se calcula en la celda amarilla con la expresión: =-SUMAPRODUCTO(E6:E8;C6:C8)
6. La TIR se calcula con la expresión: =TIR(C5:C8)

Cálculo del Precio de un Bono con la TIR

El precio de un bono es el valor actual de los flujos de caja que promete el bono a futuro, descontados a su TIR.

Un Bono paga el cupón periódico y al final, junto con el último cupón, nos abona el nominal.

Ejemplo

Calcular el precio de un bono a 3 años, que proporciona un cupón anual del 5%, y su nominal es de 1.000 €, sabiendo que su TIR en ese momento es del 10%.

Se trata de calcular el Valor Actual de los flujos de caja que el bono paga durante estos tres años. La tasa de descuento utilizada será la TIR del bono: r=10%.

En Excel podemos calcular el precio con la función VNA y con VA:

=VNA(10%; Flujos)

=VA(10%;3;-50;-1000)

Precio de un bono conocida la ETTI

En el mercado cotizan los siguientes bonos:


Bono A. Bono cupón cero a un año. TIR del 3%


Bono B. Bono cupón cero a dos años. TIR del 4%


Bono C. Bono cupón cero a tres años. Se adquiere por 800 € y se amortiza por 920


Bono D. Bono cupón explícito a tres años del 10% anual. Nominal 1.000 €


Calcular el precio del bono D.

Sensibilidad de un Bono

Cuando hablamos de Sensibilidad de un Bono nos referimos a la Sensibilidad del Bono respecto a los tipos de interés. Queremos saber cómo se comportará el precio de un bono ante las variaciones de su rentabilidad medida por su TIR.

Sabemos que precio (P) y rentabilidad (r) se mueven en sentido contrario, pero nos gustaría saber en que magnitud. Nos gustaría poder comparar dos bonos y saber cuál de ellos es más sensible.

 La curva siguiente nos muestra el comportamiento de estas dos magnitudes: Precio y Rentabilidad.

Esta curva no es una línea recta, por lo que no existe proporcionalidad o linealidad entre ambas magnitudes. Pero podemos tomar una aproximación lineal a la curva. Para ello tenemos que utilizar algo la matemáticas. Tenemos que derivar en una variable.

El precio de un bono es:

donde

• Ct son los Flujos de Caja que paga el Bono desde t=1 hasta t=n.
• r es la rentabilidad del Bono medida por su TIR

Ahora derivamos el Precio (P) respecto a la TIR (r).

puesto que sabemos que la Duración es:

podemos obtener la siguiente expresión:

El término de la izquierda dP/P es la variación porcentual del Precio.
D es la Duración de Macaulay
D/(1+r) es la denominada Duración Modificada
dr es la variación de la rentabilidad
Y el signo menos es importante, ya que nos indica que precio y rentabilidad se mueven en sentido contrario.

A efectos de aplicación práctica, los diferenciales anteriores se toman como incrementos, y así obtenemos una expresión, que ya no es una igualdad sino una expresión en términos aproximados.

La expresión anterior se puede leer en palabras de la siguiente forma:

La variación porcentual del precio en un bono es aproximadamente igual a la duración modificada multiplicado por la inversa de la variación de su rentabilidad.

La aproximación es tanto mejor cuanto menor sea la variación de la TIR que tomemos.

Gráficamente lo que estamos haciendo es la típica aproximación lineal a una curva en un punto, que es lo que vimos en su día cuando nos explicaron el concepto de derivada.

En la práctica financiera se toman centésimas partes de punto 1%/100, que se denomina punto básico.

1 pb = 1% / 100

Un punto porcentual son 100 puntos básicos (100 pb).

Pongamos un ejemplo. Supongamos que un bono, cuya duración modificada es 3, experimenta una reducción en su rentabilidad de un 1%, esto es, 100 pb. En este caso la variación porcentual del precio es:

∆P/P ≈ - 3 * (-1%) = 3%

Esto quiere decir que la variación porcentual del precio (∆P/P) es del 3%. Por tanto, en términos aproximados el precio del bono se incrementa un 3% por cada 1% que caiga su rentabilidad.

Vemos perfectamente, gracias al signo menos, que precio y rentabilidad se mueven en sentido contrario.

Además, estamos comprobando que la duración modificada (D/(1+r)) hace el papel de multiplicador y que simplemente conociendo su valor podemos comparar dos bonos. De esta forma, si tenemos un bono, como el anterior, que llamaremos Bono A, cuya duración modificada de 3, y otro, Bono B, que la tiene de 10, es claro que el de mayor duración modificada será el más sensible. El Bono B ante una reducción del 1% en su TIR, experimentará un incremento porcentual del Precio del 10%, aproximadamente.

Estos sencillos cálculos mentales, permiten a los operadores de Renta Fija, conocer la sensibilidad de un bono simplemente mirando las pantallas de Reuters o de Bloomberg que les proporcionan este dato.

Duración de Macaulay

Puede descargar el archivo de Excel v_bonos06.xlsx

La Duración de Macaulay es un concepto que mide la duración media de un Bono. Es una media que se obtiene ponderando por el peso de los diferentes flujos de caja descontados.

La fórmula es:

r es la TIR del bono

Ct son los flujos de caja en cada instante t, desde t=1 hasta t=n.

El denominador es el Precio del Bono.

El numerador es muy parecido al denominador. Simplemente se ha de multiplicar por t, que es el tiempo. De esta forma los flujos de caja descontados actúan como ponderador.

La Duración de Macaulay, o simplemente Duración, es la típica fórmula de la media ponderada, y la unidad temporal en la que viene dada son años, si los flujos son anuales. Si los flujos fueran mensuales, tendríamos que trabajar con la TIR mensual y en ese caso la duración resultante vendría expresada en meses.

La Duración Modificada es igual a la duración de Macaulay dividida entre (1+r), siendo r la TIR del bono. Es útil para medir la Sensibilidad del Bono ante las variaciones de los tipos de interés. Será más sensible aquel bono de mayor duración.

Si usted prevé que las rentabilidades del mercado de renta fija caerán, ¿en que bono invertirá?, ¿en uno de corta duración o en otro de larga duración?. Puesto que precio y rentabilidad se mueven en sentido contrario, si la rentabilidad cae, sube el precio, por tanto nos interesará invertir en el bono de mayor duración, para aprovechar una mayor subida del precio. Pero si nos equivocamos en nuestras previsiones, el precio caerá, y lo hará de forma más acusada el precio del bono de mayor duración. Por eso, decimos que el bono de mayor duración es más sensible ante las variaciones de los tipos de interés.

Replica de un Bono cupón explícito

Vamos a calcular el precio de un Bono C, conocidos los Bonos A y B que nos dan dos puntos de la ETTI por ser Bonos Cupón Cero.

Un Bono Cupón Cero es un bono que no paga cupón intermedio. Por ejemplo, una Letra del Tesoro. Únicamente existe un Co en t=0, y un Cn en t=n, y ningún otro Flujo de Caja.

Un Bono Cupón Explícito es un bono que paga cupón periódico, y por tanto no es un Bono Cupón Cero.

La ETTI es la Estructura Temporal de los Tipos de Interés, y se forma exclusivamente con las rentabilidades (las TIR) de los Bonos Cupón Cero a los diferentes plazos.

En nuestro caso:

1. El Bono A es un bono cupón cero a un año, cuya TIR es del 10%. Por lo que ya conocemos un punto de la ETTI, justo a un año.
2. El Bono B es un bono cupón cero a dos años, cuya TIR es del 11,0555%. Por lo que ya conocemos otro punto de la ETTI, justo a dos años.

Primero vamos a valorar usando la ETTI. Calcularemos el precio del Bono C y su TIR.

Aquí se aprecia que la TIR (r) es una media de las rentabilidades a los diferentes plazos. La TIR del bono C necesariamente ha de estar entre el 10% y el 11,0555%. Ha salido justo de un 11%. Esta más cerca de r02 que de r01, ya que la TIR es una media de rentabilidades, pero ponderada por el peso que tengan los flujos de da caja descontados del bono. Y en el caso del bono C pesa mucho más el último flujo de caja, por eso la TIR queda mucho más cerca de r02.

Ahora vamos a valorar utilizando una combinación de los Bonos A y B para llegar a obtener el Bono C. Estamos efectuando la réplica el Bono C y para ello utilizamos los bonos A y B que cotizan el el mercado.

Forward

En un mercado cotizan los bonos siguientes:
Bono A: Es un bono cupón cero a un año, TIR del 10%
Bono B: Es un bono a dos años que paga un cupón del 9% anual, TIR del 9,5%
Bono C: Es un bono a tres años que paga un cupón del 8% anual, TIR del 8,5%
Bono D: Es un bono a cuatro años que paga un cupón del 7% anual, TIR del 8%.
Calcular el tipo forward implícito r34 (con inicio en t=3 y final en t=4 años).

---

Método 1

Calculamos los precios de los bonos B, C y D con VAN o con VA, sabiendo sus flujos y sus TIR.

Para calcular r34 utilizamos la fórmula:

Por tanto, necesitamos conocer  r03 y r04 que son los puntos de la ETTI a 3 y 4 años. Son las rentabilidades de los bonos cupón cero a 3 y 4 años. Pero el enunciado nos da los bonos C y D, a 3 y 4 años, respectivamente pero como bonos de cupón explícito.

Necesitamos ir construyendo los cuatro puntos de la ETTI r01, r02 r03 y r04 de forma progresiva, ya que para conocer uno de ellos necesitamos los anteriores. El primero (r01) es sencillo ya que es la TIR del bono A, por tratarse de un bono cupón cero a un año.

• Para calcular r02, planteamos la ecuación que calcularía el precio del bono B (bono a dos años), usando la ETTI. Pero el precio el bono ya le conocemos, por lo que la única incógnita es r02.

• Para calcular r03, planteamos la ecuación que calcularía el precio del bono C (bono a tres años), usando la ETTI. Pero el precio el bono ya le conocemos, por lo que la única incógnita es r03.

• Para calcular r04, planteamos la ecuación que calcularía el precio del bono D (bono a cuatro años), usando la ETTI. Pero el precio el bono ya le conocemos, por lo que la única incógnita es r04.

Método 2

Con Solver, este problema, es mucho más fácil de resolver.

La celda G31 es:

=SUMAPRODUCTO($C$29:$F$29;C31:F31)

y luego se copia hacia abajo, para todos los flujos de caja del bono E.

Luego pedimos a Solver que haga cero todas las celdas amarillas, para así conseguir que el bono E sea un bono Forward r34. Como Solver solo admite una función objetivo, elegimos una de las celdas amarillas como objetivo, y el resto irá en las restricciones.

Si todo va bien, Solver encontrará en las celdas grises la combinación adecuada de los bonos A, B, C y D necesarios para conseguir nuestro propósito.

¿Qué son las celdas grises?

Las celdas grises nos dan la proporción en la que se han de combinar dos o más bonos para obtener un tercero. El valor que alzanzan esas celdas grises no es importantes, lo interesante es que hemos llegado a crear un bono sintético combinando otros bonos en determinada proporción. Si la celda gris que acompaña a un bono A es 2 positivo indica que hemos de comprar dos bonos A, y si la celda gris que acompaña al bono B es -3 (negativa), indica que hemos de vender tres bonos B. Es frecuente ver número decimales, e incluso menores que 1, eso no es importante, ya que estamos suponiendo que podemos trabajar con fracciones. Además si el valor de todas las celdas grises los multiplicas por cualquier número el bono que obtengas sigue siendo válido, ya que su TIR no cambia, puesto que lo que cambian son sus flujos de caja, pero de forma proporcional. Dos bonos proporcionales siempre tienen la misma TIR.

Son simplemente una herramienta de trabajo, lo importante es llegar al bono sintético que creamos y calcular su TIR.

A veces Solver da como solución todo ceros

En la versión de Excel 2010 se existe una opción nueva denominada:

Convertir variables sin restricciones en no negativas

Si esa opción esta marcada es posible que Solver en este problema y en otros similares de celdas grises el resultado que nos de sea poner todo como cero, y ese resultado no nos resuelve nada.

Para evitar que ponga todo como ceros se ha de desmarcar esta opción.

Réplica del bono cupón cero a dos años

En el mercado estan disponibles los siguientes bonos:
Bono A: Bono cupón cero a un año que se adquiere por 100 € en t=0 y se amortiza por 110 € en t=1.
Bono B: Bono a dos años que se adquiere por el nominal (500 €) en t=0, proporciona un cupón anual de 55 € y se amortiza por el nominal.
Calcular el importe por el que se amortiza un bono cupón cero de duración dos años que se adquiere en t=0 por 1.000 €.

---

Ver problema 4.9 del Libro de Cálculo Financiero

Puedes consultar este Post:

Réplica del Bono Cupón Cero a dos años

¿Porqué dividimos entre 49,5?

Primero hemos de conseguir obtener el Bono C, que es un bono cupón cero a dos años. Esto se consigue haciendo cero el flujo de caja intermedio (celda E15).

La TIR del bono C es igual a la de cualquier otro bono que podamos obtener que sea múltiplo de él. Así, el bono C', tiene la misma TIR que el bono C, ya que lo único que hacemos es dividir todos los flujos de caja entre la misma cifra.

El motivo de porqué dividimos entre 49,5 es simplemente porque el precio del bono C es de 49.500 €, y el enunciado nos pide que calculemos sobre un bono que tenga como precio en t=0, exactamente 1.000 €.

Por tanto, para conseguir transformar el bono C, en el bono C' se ha de dividir entre 49,5 que es la cifra necesaria para conseguir esto:

49.500 / 49,5 = 1.000

Comentarios

Es normal tener muchas dudas sobre estos temas. Cuando hacemos problemas de préstamos todos sabemos para que sirven. Es más, seguramente alguno hemos pagado, o pegaremos en nuestra vida. Cuando hablamos de bonos, el tema nos queda algo más lejos, ya que la mayoría de la gente no invierte directamente en Renta Fija.
Esta asignatura es la primera necesaria en el campo financiero. Muchas de las cosas que se aprenden aquí se utilizan a un nivel mayor. Y en los próximos años espero que os hablen de futuros, opciones y swaps que son las tres piedras angulares de las finanzas modernas. En todos ellos se manejan bonos, incluso cuando intentamos valorar activos de Renta Variable. El concepto de réplica de un activo es fundamental y es el que da lugar a la mayoría de las fórmulas que se utilizan en Finanzas.

Primero debes leer este Post que critica la TIR como medida de la rentabilidad de un activo.
reinversion-de-los-flujos-de-caja

Tras su lectura, verás que son muy importantes los activos denominados Bonos Cupón Cero, que son los que no pagan cupón intermedio. Son importantes porque al no tener cupones intermedios que reinvertir, no tenemos el riesgo (la incertidumbre) de saber a que tipo los podremos reinvertir en el futuro.

Este es el motivo, de que en Finanzas sean tan apreciados los Bonos Cupón Cero. Pero bonos de este tipo hay pocos. Estan las Letras del Tesoro, que no pagan cupón intermedio, y los denominados Bonos Segregables, pero no los hay a todos los plazos que deseemos. Por tanto, mediante la Réplica de Bonos podemos llegar a construir otros bonos que no existen en el mercado, combinando para ello otros bonos.

La Réplica de Bonos se basa en formar una cartera de bonos comprando y vendiendo bonos otros bonos existentes. El resultado de esa cartera (analizando sus flujos de caja) coincide con un bono que hemos llegado a diseñar, y que por tanto se denomina bono sintético. A estos juegos con bonos, se les denomina Ingeniería Financiera, en el buen sendido, ya que los periodistas suelen utilizar este término para designar jugadas financiero-fiscales al borde de la ley.

En España se emiten bonos del Estado, denominados Obligaciones, hasta un plazo de 30 años. Esto nos permite construir una curva de tipos bastante larga. Pero en EEUU, cuyo sistema financiero es mucho mayor disponen de Bonos del Estado hasta un plazo de 80 años. Esto es muy apreciado, ya que dota al sistema financiero de activos que combinados nos dan lugar a los bonos que necesitamos, o los podemos crear mediante réplica de los ya existentes.

Simplemente lo que se pretende es hacer cero el flujo de caja intermedio, de esta forma logramos construir el bono C que es un Bono Cupón Cero a dos años. Es una bono sintético. Y además, por ser un Bono Cupón Cero su TIR es un punto más de la ETTI. Curva que es absolutamente fundamental en Finanzas. Durante un monton de años se publicaba en la contraportada del diario económico "5 Diás", y actualmente la podeis encontrar en páginas interiores de algunos diarios económicos. Esta curva nos da como esta valorando el mercado el tipo de interés a los diferentes plazos. Con un simple golpe de vista se pueden llegar a ver muchas cosas de la economía de un pais.

¿Por qué es útil analizar la curva de tipo de interés?

Curva cupón cero