Pago a durante s años y luego b el resto

Un préstamo de principal 10.000 € se contrata a tipo de interés fijo del 11,5% anual, amortizable mediante pagos anuales constantes de 1.647 € los s primeros años y b € los restantes. Si el capital vivo al cabo de s años es de 3.997,51 €, calcular b sabiendo que la duración total del préstamo es de 20 años.

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Estudiar el problema 3.2 del libro de Cálculo financiero.

Método 1

Método 2

Vídeo

Método manual

Planteamiento

Primero dibujas el préstamo y ves que el principal Co se paga en base a dos rentas de términos anuales, durante 20 años, una de importa a=1.647 € durante los s primeros años y luego de importe b los restantes. Te piden calcular b, y te dan el tipo de interés i.

Montas una ecuación donde la incógnita es  s.

Despejas s, tomando logaritmos y da como resultado que s=8

Ahora montas otra ecuación pensando en la última renta de importe b que se pagará durante 20-8=12 años, y que su valor actual ha de ser igual a C8 que es un dato conocido 3.997,51 €.

Despejando se obtiene b que es b=630,45 €.

Principal conocidos dos capitales vivos

Un préstamo francés de términos mensuales valorado al 9% nominal anual, en el mes 50 tenía un capital vivo de 515.229,43 €, y en el mes 80 tenía un capital vivo de 326.824,42 €. Calcular el principal del préstamo.

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Método 1

Primero calculamos la mensualidad a despejando de la expresión:

Esto se puede hacer con Excel de una forma sorprendentemente sencilla usando la función PAGO:

=PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)

=PAGO(i₁₂;p-s;-Cs;Cp)

El número de periodos son p-s=80-50=30. Estas son las mensualidades que hay entre t=50 y t=80.

En esos 30 meses tenemos que amortizar un capital Cs=C50 mediante la entrega de 30 términos mensuales constantes de a euros, más una cantidad adicional en t=80, por importe de Cp=C80, que es el capital vivio en ese momento. Si entregásemos al banco C80 en el instante 80, liquidaríamos nuestra deuda con el banco, y en ese momento ya no deberíamos nada.

Ese es el motivo de que en la fórmula PAGO pongamos el valor de vf como el capital vivo C80.

Conocida la mensualidad ya podemos calcular el principal del préstamo Co usando la expresión:

Calcular el principal del préstamo (Co) con Excel consiste simplemente en aplicar la función VA:

=VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)

=VA(i₁₂;50;-a;C50)

Método 2

Igual que el método anterior pero al calcular la mensualidad aplicamos la función VA de la siguiente forma:

=VA(i₁₂;80;-a;C₈₀)

Método 3


Primero calculamos la mensualidad a, como en el método 1.

Luego calculamos el número de periodos totales del préstamo.

Con la función NPER es mucho más sencillo.


=NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)


=+REDONDEAR(NPER(i₁₂;a;-C₈₀);0)+80

Hemos sumado al final 80 meses porque consideramos que al final se paga C₈₀. Existe otra forma de obtener el número de periodos, y es considerar que al final se paga el capital vivo en 50, C₅₀. En ese caso al final sumaríamos 50.

=+REDONDEAR(NPER(i₁₂;a;-C₅₀);0)+50

La función redondear es necesaria para limar los escasos decimales que salen.

Ahora ya podemos calcular Co sabiendo que en total son 120 meses. Haciendo la equivalencia financiera en t=0 obtenemos la siguiente expresión:

O bien, es mejor usar la función VA de Excel:

=VA(i₁₂;120;-a)

Comprobación

A efectos de comprobación podemos realizar el cuadro de amortización. También podríamos usar el cuadro de amortización como otro método de resolución utilizando Solver.

Una forma curiosa de calcular la mensualidad

Vídeo

Mensualidad dado el Capital Vivo

De un préstamo de principal 800.000 € sabemos que tras s meses pagando una mensualidad constante de 14.925,14 €, aún se deben al banco 497.462 €. Calcular el capital vivo en s+1 sabiendo que se pactó un TIN del 6%.

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Lo primero es calcular quien es el instante t=s. En la imagen se observa cómo podemos calcular s con la función NPER.

Luego disponemos de los tres métodos clásicos para calcular una reserva matemática, en este caso, el capital vivo del mes 27.

• Método recurrente

• Método retrospectivo

• Método prospectivo

El método prospectivo necesita conocer el número de meses totales del préstamo.

Calculamos el número total de meses del préstamo con la función: =NPER(i₁₂;a;-Co). El resultado puede verse en la celda F18.

El resultado es 62,5519573. Como ves no da un número entero, y esto puede ser un problema de interpretación, ya que el valor de n siempre ha de ser el de un número entero, ya que no son realmente meses, sino términos de una renta. Y no pude existir una renta con 63,55 términos. Esto se resuelve, argumentando que el préstamo necesariamente no es de cuantía constante y que en algún momento se debe producir un cambio en la cuantía. Al menos, en el último pago se debe producir un ajuste para que el préstamo cuadre.
Asumiendo que este número fraccionario no es muy afortunado para el ejemplo, aún así, podemos usarle. Y así, podemos calcular el capital vivo en s+1 con la siguiente expresión:
=VA(0,005;n-27;-a)
Esta expresión es el VA de lo que nos queda por pagar, estando en t=27.

Podemos hacer el cuadro de amortización a efectos de comprobación.

Vídeo

Vamos a representar gráficamente la operación mediante su esquema estático. Vista a así la operación parece que no se puede calcular ya que no conocemos s que es el número de meses transcurridos.

Para resolver el problema por el Método 1 vamos a representar el mes s+1 mediante el esquema dinámico. 

Observando el gráfico anterior podemos deducir que para llegar al capital vivo en s+1 partiendo del capital vivo en s, lo que hemos he hacer es capitalizar Cs un mes al tipo i₁₂ y luego restar el importe a de la mensualidad, que es la que se paga en s+1.

Capital vivo de un préstamo geométrico

Se amortiza un préstamo de principal 50.000 € mediante el pago de términos amortizativos anuales que aumentan un 3% anual acumulado. La duración del préstamo es de 10 años y el tipo de interés es del 9% anual. Calcular el capital vivo al cabo de 5 años.

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Ver problema 3.18 del Libro.

Podemos calcular el primer término amortizativo a de la siguiente forma: 

dividiendo el principal entre el valor actual de una renta geométrica pospagable de primera cuantía 1 euro, razón q, número de términos n y tipo de interés i.

Métodos 1, 2 y 3

En la imagen anterior podemos ver la fórmula de la celda F11 que requiere utilizar la fórmula que hemos programado denominada VAgeo

=VAgeo(C;q,n;i)

Ver el post siguiente:

Valor Financiero de una Renta Geométrica. VAGEO

Luego calculamos C5 por varios métodos:

1. Método 1: Método prospectivo. =+vageo(F11*C12^5;C12;5;C14)
2. Método 2: Método retrospectivo. =+C11*(1+C14)^5-vfgeo(F11;C12;5;C14)
3. Método 3: Calculando el VAN. =+VNA(C14;C23:C27)

Calcular 'a' con Solver

Veamos un método alternativo para calcular a, utilizando Solver y mejorando su precisión.

Método 4

Podemos utilizar el Método 4 que calcula el saldo de la operación financiera utilizando el Método recurrente.

Ultimo término amortizativo necesario

Se concede un préstamo de 15.000 € a un tipo de interés anual del 12,36%, que se amortiza mediante pagos anuales de 3.000 €, excepto el último pago anual que será de la cuantía necesaria para amortizar el préstamo. Si se acuerda que ningún pago sobrepase los 3.000 €, calcular el último término amortizativo.

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Ver el problema 3.22 del libro de Cálculo financiero.

Método 1

Calculamos n con NPER.
Calculamos C8 por el método retrospectivo
X es lo que tenemos que pagar un año después. Es el término amortizativo en t=9.

El capital vivo al final del año 8 (C8) podemos calcularle por el Método Retrospectivo:

La celda F15 es: =C13*(1+C14)^F14-VF(C14;F14;-C15)

El valor de X se obtiene capitalizando un año el capital vivo C8.

Método 2

Podemos calcular el VA de la renta excluido el último pago que desconocemos (X).

La celda F22 es: =VA(C21;F21;-C22)

La diferencia entre ese VA y Co será lo que vale X, pero valorado en t=0.

Ahora solo falta valorar X en su lugar, en t=9.

Método 3



Podemos hacer el cuadro de amortización sabiendo que la anualidad es de 3.000 euros, pero sin conocer la duración de la operación.

Paso 1

Hacemos el cuadro de amortización copiando las fórmulas de la fila del año 1 hacia abajo hasta que vemos que el capital vivo comienza a ser negativo. En nuestro caso, el primer capital vivo negativo se alcanza en el año 9.

Paso 2

Una vez ajustado el cuadro de amortización a 9 años, hacemos que A9 (la cuota de amortización del año 9) sea igual a C8, el capital vivo del año 8.

Esto se ve en las celdas de color verde siguientes que son iguales.

Lo que hacemos es poner en la celda E56 la fórmula: =F55.

Paso 3

Finalmente, lo que hacemos es poner la última anualidad como la suma de cuota de intereses más cuota de amortización.

La celda C56 (de color naranja) tiene como fórmula: =D56+E56.

Vídeo

Resolución manual

Primero calculamos n.

Conocido n tomamos su parte entera y añadimos un periodo más donde se entregará la cantidad X necesaria para amortizar completamente el préstamo.

Despejando n.