Sensibilidad de un Forward con Solver

Forward implícito

Puede descargar el archivo de Excel forward_implicito_01.xlsx

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En el mercado están disponibles los siguientes bonos:

• Bono A: Letra del Tesoro de duración un año y precio de adquisición 933 €
• Bono B: Bono cupón explícito del 7% y duración 2 años que se adquiere con un descuento del 2% sobre el nominal.

Determinar el tipo de interés forward implícito para el periodo que se inicia en t=1 y finaliza en t=2 años.

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Método 1

La clave está en la celda F21, en la que multiplicamos los flujos de caja de los bonos A y B en cruz para conseguir un flujo de caja igual a CERO. Luego copiamos la fórmula de esa celda hacia abajo.

En esta ocasión multiplicamos en cruz para conseguir anular el flujo de caja inicial del bono C. La fórmula de la celda F21, que luego copiaremos hacia abajo, es la siguiente:

=$E$21*D21-$D$21*E21

Observar que los dólares van en el sitio adecuado para conseguir que al copiar hacia abajo siempre estemos tomando una cierta combinación de bonos A y B, comprados y vendidos, con el fin de anular el flujo de caja inicial del bono C.

Método 2

Combinando los bonos A y B construimos el bono D que es un bono cupón cero a dos años, cuya TIR es r02. Luego aplicamos la fórmula:

(1+r02)^2=(1+r01)(1+r12)

Y despejamos r12 que es la incógnita.

Aplicamos la fórmula que relaciona el tipo forward con los tipos spot a un año y a dos años.

Creamos el bono D mediante réplica del bono cupón cero a dos años, empleando para ello la combinación adecuada de bonos A y B, según se ve en la fórmula de la celda F29:

=$D$29*E29-$E$29*D29

La TIR del bono D es el tipo spot (de contado) a dos años (r02). Luego simplemente hemos de despejar el tipo forward (r12). Ver la celda F34:

=(1+F32)^2/(1+D32)-1

Método 3

Consiste en inventarte el nominal del bono B, ya que el enunciado solo te dice el cupón 7% y el precio 98% ambos sobre el nominal que quieras. Eligiendo bien el nominal podemos conseguir que al restar los flujos de caja de los bonos A y B en el instante t=1, el resultado sea CERO. Este es nuestro objetivo, ya que pretendemos conseguir un bono C cuyo flujo de caja en t=0 sea cero, por tratarse de un forward r12.

Se crea un bono cupón cero que se compra en t=1 y se amortiza en t=2. Es decir, un bono (C) suma de los bonos A y B tal que el flujo en t=0 sea nulo. El forward solicitado (r12) será la TIR de ese bono.

Del bono A nos dan el precio de adquisición (933 €), y sabemos que el nominal es de 1.000 € por tratarse de una Letra del Tesoro.

En el bono B no nos dicen quién es el nominal, por lo que podemos suponer el importe que más nos interese. En este caso vamos a considerar un nominal que sea justo el necesario para que luego el precio de adquisición sea el mismo que el del bono A. Esto nos conviene para luego poder combinar cómodamente los bonos A y B y formar el bono C, de forma que el flujo de caja del bono C sea cero en t=0. 

Como el nominal del bono B podemos inventárnoslo, podemos poner el que anule el flujo en t=1 del bono A (933€) (para crear el bono C). Como el precio de compra del bono B es el nominal con un descuento del 2%, si decidimos que el nominal del bono B sea el flujo que queremos hacer cero (933€) aumentado un 2%, ya tenemos lo que queríamos.

Explicándolo con números:

BONO C = BONO B - BONO A y en t =0 el flujo del BONO C tiene que ser 0.

En t = 0: Flujo en C = Flujo en B - Flujo en A = 0 (*)

Flujo en A = -933 €
Flujo en B = Precio de compra del bono B = Nominal-(2%·Nominal) = Nominal·(1-0,02)
= Nominal·0,98

Sustituyendo en (*):
Nominal·0,98 - (-933 €) = 0,
por tanto:

Nominal = -933 € / 0,98.

Por este motivo, hacemos que la celda E17 sea:

=-D13/0,98

Lo que nos da un nominal de 952,04 €, que luego en la celda E13, al calcular el precio del bono B, podremos convertir en 933 €, utilizando la fórmula:

=-0,98*E17

Con estos valores para el bono A y B es muy sencillo calcular el bono C, de forma que sea un forward r12, esto es, con un flujo de caja cero en t=0. Esto se consigue simplemente con la fórmula de la celda F13, que es una mera resta de los flujos de los bonos A y B, y luego copiada hacia abajo. La fórmula es:

=E13-D13

Se puede interpretar diciendo que si compramos un bono B y vendemos (o emitimos) un bono A, obtendremos una cartera que es la representada por el bono C.

Finalmente calculamos la TIR del bono C que coincide con el forward implícito r12 que nos han pedido.

Cálculo de un tipo Forward utilizando Solver

Puede descargar el archivo de Excel forward_con_solver_01.xlsx

En la fila 10 y con color gris ponemos una celdas auxiliares, que inicialmente tomarán los valores que queramos, por ejemplo: 1, 2 y 3. Representan la ponderación con la que participará cada uno de los bonos A, B y C respectivamente. En esas celdas grises encontraremos al menos una con signo positivo y otra con signo negativo. El signo positivo indica número de veces que se ha de comprar el bono correspondiente y el signo negativo indica el número de veces que se ha de vender (o emitir) el bono correspondiente.

En este caso el ponderador del bono A es cero (celda C10) lo que indica que no es necesario utilizar el bono A para obtener el Forward que nos han pedido. El bono D se puede obtener comprando un cierto número de veces el bono B (celda D10) y vendiendo un cierto número de veces el bono C (celda E10).