Tanto medio

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Ejemplo

Supongamos una operación de capitalización compuesta a dos años donde los tipos de interés son los siguiente:

1. Primer año: i⁽¹⁾=5% anual
2. Segundo año i⁽²⁾=15% anual

Deseamos conocer el tanto medio equivalente i_M que es el tanto que da lugar al mismo montante que los tantos anteriores pero aplicado de forma constante durante los dos años.

Vamos a capitalizar de dos formas diferentes, partiendo de un capital inicial en ambas de 1 euro, y durante el mismo tiempo, dos años.

1. Primero vamos a capitalizar "del tirón", de una sola vez, durante los dos años, empleando el tanto de interés fijo i_M. El montante al que llegaremos será: (1+i_M)².
2. Luego vamos a capitalizar empleando de forma sucesiva los dos tantos. Si partimos de 1 euro y capitalizamos el primer año, llegamos a un montante, en t=1, que es (1+i⁽¹⁾)=(1+0,05). Si usamos ese importe de 1,05 € y lo capitalizamos el segundo año usando el tanto de 15%, obtendremos al final, en t=2, un montante que será: (1+i⁽¹⁾)*(1+i⁽²⁾)=1,05*1,15

Si igualamos los montantes obtenidos obtendremos la ecuación siguiente:

(1+i_M)²=1,05*1,15

Si despejamos i_M obtenemos su valor:

i_M = (1,05*1,15)^(1/2)-1

i_M = 0,098863 = 9,8863% anual

Concepto de Tanto Medio

En una operación de capitalización que dure varios periodos podemos calcular el montante final de dos formas:

1. Aplicando un tanto de interés constante (i) en capitalización compuesta. Llegamos a un montante dado por la ley de la capitalización compuesta: Cn=Co(1+i)ⁿ
2. Podemos aplicar un tanto variable, que puede llegar a ser diferente en cada uno de los n periodos que dura la operación. Supongamos que los tantos aplicables en cada periodo son los siguientes: i⁽¹⁾, i⁽²⁾, i⁽³⁾, ..., i⁽ⁿ⁾. El montante al que se llega aplicando reiteradamente la ley de capitalización compuesta es: Cn=Co(1+i⁽¹⁾)(1+ i⁽²⁾)(1+ i⁽³⁾) ··· (1+i⁽ⁿ⁾) 

El tanto medio (i_M) es aquel tanto que aplicado de forma constante a todo el periodo consigue llegar al mismo montante que aplicando diferentes tantos a lo largo de esos periodos, todo ello en capitalización compuesta.

El tanto medio es aquel que iguala los montantes indicados anteriormente:

1. Cn=Co(1+i_M)ⁿ 
2. Cn=Co(1+i⁽¹⁾)(1+ i⁽²⁾)(1+ i⁽³⁾) ··· (1+i⁽ⁿ⁾) 

Factor

En finanzas se define el Factor como (1+i), esto es, como uno más el tanto. Es un nombre adecuado porque justamente (1+i) es lo que va multiplicando a un capital inicial para llegar a un capital final, durante un periodo. Si en lugar de un periodo fueran n periodos se tendría que multiplicar el capital inicial por (1+i), n veces, tantas como periodos tengamos. Si el tanto i utilizado siempre es el mismo, al multiplicar n veces el factor (1+i) se obtiene el famoso (1+i)ⁿ de la ley de capitalización compuesta.

Pero si el tanto i no es constante sino que puede variar, aplicándose un tanto diferente cada periodo se llega a la fórmula

Expresión con la que podemos calcular el capital final Cn sin más que multiplicar el capital inicial por los diferentes factores que se forman a tipo variable. Para denotar los diferentes tantos hemos utilizado superindices metidos entre paréntesis para que no se confundan con una potencia.

Por simplificar, podemos partir de un capital inicial de1 euro. En ese caso, el montante final al que se llegaría usando los diferentes tantos variables o bien usando un tanto constante (Tanto Medio) se pueden igualar ya que el tanto medio produciría el mismo resultado que aplicar diferentes tantos a los largo de los n periodos.

Igualando obtenemos la expresión:

Esta expresión se puede poner en forma resumida usando el símbolo matemática de PRODUCTO que es una letra PI mayúscula.

Ahora despejamos el Tanto Medio y obtenemos la siguiente expresión:

Conviene ver el siguiente vídeo que lo resuelve en Excel por varios métodos.

Problemas resueltos

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

• Tanto Medio
• Tanto medio a 4 años
• Tanto medio de varios tramos
• Tanto medio de 7 años
• Tanto medio equivalente
• Tanto medio de dos tantos

Intereses anticipados en capitalización compuesta

Después de estudiar la capitalización simple con intereses anticipados vamos ahora a ver el caso de la compuesta.

En compuesta los intereses se acumulan haciéndose productivos. Esto es, se han de incorporar los intereses al capital produciéndose intereses de intereses. Esto supone que a nivel matemático al multiplicar reiteradamente aparezcan los exponentes.

La ley es la siguiente.

Gráciamente

Obtención de la ley

Comparación entre los tantos i e i* en capitalización compuesta

Vamos a comparar una operación a interés compuesto pospagable con una operación a interés compuesto prepagable.

En la operación pospagable partimos de un capital inicial de 1 € y transcurridos n periodos se convierte en (1+i)ⁿ euros.

En la operación prepagable solicitamos 1 euro pero como nos cobran los intereses por adelantado en realidad obtenemos un efectivo de (1-i*)ⁿ euros, y nos comprometemos a devolver al final, en t=n, el euro solicitado.

Gráficamente

Establecemos una regla de tres, o una proporción que nos permitirá relacionar los tantos.

De la expresión anterior podemos despejar i e i*.

Observe la similitud con el caso del descuento compuesto a tanto de descuento d. Existe una total coincidencia entre el tanto d y el tanto de interés anticipado i*. Las fórmulas que comparaban el tanto d con el tanto i, son las mismas que las que hemos visto anteriormente que comparan el tanto i* con el tanto i.


Problemas resueltos

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

• Tanto anticipado

Audio

Intereses anticipados en capitalización simple

Normalmente los intereses se pagan al final del periodo. Esta es la práctica habitual, y cuando se hace esto hablamos de intereses pospagables, o "por vencido".

Otro tipo de intereses menos habitual son los intereses prepagables o intereses anticipados, que son aquellos que se pagan al inicio del periodo.

Partimos de un capital inicial en t=0 de 1 €, y vamos a capitalizar 1 periodo, que normalmente será 1 año. Veamos lo que sucede tanto si el pago de intereses se pacta por anticipado o por vencido.

• Intereses pospagables. En t=0 nos dan 1 € a préstamo y nos comprometemos a devolver (1+i) euros al final del periodo. En t=1 estamos devolviendo el capital prestado más los intereses.
• Intereses prepagables. En t=0 pensamos en solicitar un capital de 1 €, pero como nos cobran los intereses por anticipado, en realidad percibimos (1-i*) euros. Lo que percibimos es 1 € menos los intereses prepagables que denominamos i*. Al finalizar el periodo, en t=1, devolveremos 1 €.

Gráficamente

Intereses anticipados en capitalización simple


En capitalización simple los intereses son constantes en cada periodo. Esto supone que la curva que representa la evolución del capital sea una línea recta. También supone que los intereses sean proporcionales al número de periodos. Matemáticamente la ley que se obtiene es la siguiente.

Veamos cómo deducir la ley.

• éste es el capital solicitado en t=0
• éste es el capital realmente percibido en t=0
• éstos son los intereses del primer periodo
• éstos son los intereses de n periodos. Todos los periodos tienen los mismos intereses por eso al multiplicar por n obtenemos los intereses totales del periodo [0,n].
• Los intereses totales también se pueden ver como la diferencia entre el capital solicitado y el realmente obtenido

Para determinar la ley financiera seguimos el siguiente razonamiento.

El capital realmente obtenido (Co) es igual al solicitado menos los intereses. Sustituimos los intereses por su valor y sacamos factor común. Finalmente obtenemos la ley.

Gráficamente

La evolución del capital es la siguiente.

Ejemplo 1

Calcular el importe que se debe solicitar para obtener realmente 100.000 € si se trata de una operación de capitalización a interés simple prepagable del 12% anual y una duración de 3 años.

Nos dan Co=100.000 € y nos piden Cn que es:

= Co/(1-i*n) = 100.000/(1-0,12*3) = 156.250 €


Ejemplo 2

Calcular el tanto de interés pospagable (i) de una operación de capitalización a interés simple de la que sabemos que la duración es de 3 años y el capital inicial (Co) es de 100.000 € y el capital final (Cn) es de 156.250 €.

Tenemos que considerar la ley de la capitalización simple

Cn=Co(1+in)

y despejar i

i=[(Cn/Co)-1]/n=[(156.250/100.000)-1]/3=0,1875=18,75% anual


Comparación entre los tantos i e i* en capitalización simple

Vamos a ver la relación que existe entre el tanto pospagable (i) y el tanto prepagable (i*) en capitalización simple.

Comparemos una operación de capitalización simple a interés pospagable (i) con una operación de capitalización simple a interés prepagable (i*).

En la operación de capitalización simple a interés prepagable (i*) solicitamos 1 euro en t=0, pero obtenemos realmente un efectivo de (1-i*n) euros, ya que hemos tenido que pagar los intereses por anticipado, en t=0, y estos son de importe i*n (son i* cada periodo por n periodos en total). En t=n no s comprometemos a devolver el euro que habíamos solicitado.

En la operación de capitalización simple a interés pospagable (i) solicitamos y nos conceden 1 euro en t=0. Al final de la operación, en t=n, nos comprometemos a devolver ese euro más lo intereses. El capital que devolveremos en t=n es de importe (1+in) euros, ya que estamos en capitalización simple, y los intereses de cada periodo son constante de importe i, y son en total n periodos.

Realizando la regla de tres o realizando la proporción.

De la expresión anterior podemos despejar i e i*, obteniendo las dos siguientes fórmulas.

Es importante ver la similitud entre la ley de capitalización simple a tanto de interés anticipado i* y la ley de descuento simple comercial:

Co=Cn(1-dn)

Observar que el tanto anticipado i* es equivalente al tanto de descuento d.


Ejemplo 3

En una operación de capitalización a interés simple de tres años de duración deseamos calcular el tanto  prepagable equivalente a un tanto pospagable del 18,75% anual.


Aplicando la expresión:

i* = i/(1+in) = 0,1875 /(1+0,1875*3) = 12% anual.

Al considerar los ejemplos 1, 2 y 3 de forma consecutiva vemos que se trata del mismo caso y que al final hemos regresado al 12% que era el dato de partida del ejemplo 1.



Ejemplo 4

En una operación de capitalización a interés simple de 2 años de duración deseamos calcular el tanto  pospagable equivalente a un tanto prepagable del 18% anual.


Aplicando la expresión:


i = i*/(1-i*n) = 0,18/(1-0,18*2) =  28,125% anual

Nota

Cuando hablamos de un tanto de capitalización y no indicamos si es un tanto pospagable (i) o prepagable (i*), siempre entenderemos que se trata del tanto pospagable (i) ya que es el más utilizado en la práctica financiera.

Descuento compuesto a tanto de descuento d

Formación de la Ley

Primero veamos cómo aplicar el descuento a un único periodo.

Supongamos que disponemos de un capital final (C₁) que vence en t=1, y deseamos descontarle un periodo hasta llegar a un capital inicial (Co). Aplicamos un tanto de descuento d, y obtenemos Co con la siguiente expresión.

Co = C₁ (1-d)

Ejemplo 1

Supongamos que el periodo es el año. Supongamos que C₁ es 100 €, y que d es un tanto de descuento del 10%. En este caso, podemos obtener Co con el siguiente cálculo.

Co = C₁ (1-d) = 100 (1-0,1) = 90 €

El descuento D ha sido:

D=C₁-Co = 100 - 90 = 10 €

Ahora veamos como aplicar reiteradamente el descuento en compuesta.

En compuesta se acumulan los descuentos. Veamos cómo evolucionan los descuentos en los sucesivos periodos partiendo de un nominal (Cn) con vencimiento en t=n. Veremos el capital en t=n-1, luego en t=n-2, y así sucesivamente hasta llegar al capital inicial (Co).

Periodo	Capital
n	Cn
n-1	Cn(1-d)
n-2	Cn(1-d)2
n-3	Cn(1-d)3
....	....
0	Cn(1-d)n

Partimos del instante t=n y vamos un periodo hacia atrás en el tiempo. Cada vez que retrocedemos un periodo multiplicamos por (1-d), ya que al estar en compuesta los descuentos se acumulan. De ahí surgen los exponentes, hasta llegar a la fórmula de la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d.

Ley de descuento compuesto a tanto de descuento d
Co = Cn(1-d)n

En la realidad financiera esta ley no se aplica prácticamente nunca. Nos sirve para completar los casos posibles pero no es habitual ver que se pacte una operación utilizando esta ley.

Ejemplo 2

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar 48.828.125 € durante 4 años, aplicando descuento compuesto a una tasa de descuento d=20% anual.

Utilizando la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d, obtenemos lo siguiente.

Co = Cn(1-d)ⁿ = 48.828.125 (1-0,2)⁴ = 20.000.000 €

Relación entre i y d en compuesta

Existe una relación directa entre el tanto de interés (i) y el tanto de descuento (d) de las leyes de descuento compuesto.

Ambas leyes son las siguientes.

Co = Cn(1+i)^-n
Co = Cn(1-d)ⁿ

Igualando los efectivos (Co=Co) obtenemos la siguiente expresión.

Cn(1+i)^-n = Cn(1-d)ⁿ

Se simplifica la variable n al estar en ambos exponentes, y se simplifica Cn al estar en ambas parte de la igualdad. Así, obtenemos la siguiente expresión.

(1+i)^-1 = (1-d)

Esta es la relación que liga el tanto de interés (i) y el tanto de descuento (d) de la compuesta.

Podemos despejar i obteniendo:

i = d / (1-d)

Podemos despejar d obteniendo:

d = i / (1+i)

La relación que existe entre d e i es una relación directa que no depende de ninguna otra variable. Recuerde que en simple obtuvimos una relación que dependía de n, con lo que en ese caso no era una relación directa.

Ejemplo 3

Calcular el tanto de interés (i) equivalente a un tanto de descuento (d) del 20% anual en compuesta.

Aplicamos la expresión:

i = d / (1-d) = 0,2 / (1-0,2) = 0,2 / 0,8 = 1/4 = 0,25 = 25% anual

Por tanto, en compuesta un tanto de interés del 20% siempre será equivalente a un tanto de descuento del 25%. La palabra "siempre" la utilizamos para indicar que esta relación no depende de ninguna otra variable como sucede en el caso de trabajar en simple.

Audio

Descuento compuesto a tanto de interés i

La ley de descuento compuesto a tanto de interés i se obtiene sin más que despejar de la ley de la capitalización compuesta.

La ley de la capitalización compuesta es:

Cn = Co (1+i)ⁿ

Despejando el capital inicial (Co) se obtiene la ley de descuento compuesto a tanto de interés i.

Co = Cn / (1+i)ⁿ

O también se puede expresar utilizando exponente negativo y multiplicando

Ley de descuento compuesto a tanto de interés i
Co = Cn (1+i)-n

También existe la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d, pero la que realmente utilizaremos en la inmensa mayoría de los casos es la ley de descuento compuesto a tanto de interés i. Este es el motivo por el que cuando hablemos de ley de descuento compuesto, sin especificar a que tanto se aplica, entenderemos que se trata del tanto i, ya que es la más utilizada.

Observe que la ley de descuento compuesto que acabamos de ver es en realidad la misma ecuación que la de utilizada en  la ley de capitalización compuesta, salvo que ha hablar de capitalización despejamos Cn y al hablar de descuento despejamos Co.

Ejemplo

Dado un capital inicial de 18.000 € calcular el montante obtenido si se capitalizara en capitalización compuesta durante 10 años al 7% anual. Comprobar que al aplicar descuento compuesto se llega al capital inicial de partida.

Veamos los datos:
Co = 18.000 €
n = 10 años
i = 7% anual
Nos piden el capital final o montante (Cn) aplicando la ley de capitalización compuesta.

Cn = Co (1+i)ⁿ = 18.000 (1+0,07)¹⁰ = 35.408,72 €

Calculemos ahora el capital inicial (Co) que se obtiene descontando con la ley de descuento compuesto.

Co = Cn (1+i)^-n = 35.408,72 (1+0,07)^-10 = 18.000 €

Obviamente llegamos al capital inicial de 18.000 € ya que, en realidad, se trata de la misma ecuación, que utilizamos despejando Cn o Co según nos interese capitalizar o descontar.

Comparación entre los descuentos simples

En la práctica financiera la ley que se utiliza es la descuento simple comercial, pese a los inconvenientes que tiene. La ley de descuento simple racional es muy poco utilizada en la práctica bancaria.

Ejemplo 1

Calcular el descuento D aplicado a una operación de descuento cuyo nominal es de 100.000 €, vencimiento a 270 días, y tasa del 12%, en los dos casos siguientes:

1. Aplicando descuento simple comercial y año comercial
2. Aplicando descuento simple racional y año comercial

El descuento D en el caso del descuento simple comercial es:

D=Cn·n·d

En nuestro caso hemos de adaptar n para expresarlo en años y considerar que la base es 360.

D = 100.000·(270/360)·12% = 9.000 €

El descuento D en el descuento simple racional es:

D=Co·n·i

Como no conocemos el efectivo Co tendremos que calcularlo previamente con la ley.

Co = Cn / (1+i·n) = 100.000 / (1+0,12·(270/360)) = 91.743,12 €

Ahora ya podemos calcular D con la fórmula anterior.

D=Co·n·i = 91.743,12·(270/360)·0,12 = 8.256,88 €

o bien, restando al nominal el efectivo.

D = Cn - Co = 100.000 - 91.743,12 = 8.256,88 €

Observe que el descuento mayor, el descuento más duro se aplica con la ley de descuento simple comercial.

¿Por qué cree usted que el descuento simple comercial es el más utilizado en banca, a pesar de sus inconvenientes?

Gráfico comparativo


Podemos realizar un gráfico comparativo entre la ley de descuento simple comercial y la ley de descuento simple racional.

La curva del descuento simple racional no es una línea recta, es decreciente y asintótica al eje horizontal. El efectivo que se obtienen con la ley de descuento simple racional nunca será negativo, cosa que si sucede con el descuento simple comercial.

En horizontal (eje de abcisas) se representa la duración de la operación financiera (n).
En vertical (eje de ordenadas) se representa el efectivo obtenido con la operación de descuento (Co).


Relación entre los tantos

Veamos la relación que existe entre:

• El tanto de descuento (d) de la ley de descuento simple comercial, y
• El tanto de interés (i) de la ley de descuento simple racional

Tomemos las dos leyes de descuento.

Co = Cn (1-d·n)
Co = Cn / (1+i·n)

Igualemos los efectivos Co=Co

Cn (1-d·n) = Cn / (1+i·n)

Los nominales al estar en ambas partes de la igualdad se simplifican.

(1-d·n) = 1 / (1+i·n)

Vamos a despejar i.

 (1+i·n) = 1 / (1-d·n)
 i·n = [1 / (1-d·n)] - 1 = [1 - (1-d·n)] / (1-d·n) = (d·n) / (1-d·n)

Finalmente hemos obtenido que i es:

i =  d / (1-d·n)

Observamos que no existe una relación de conversión directa entre i y d, ya que en la fórmula anterior aparece n. Esto quiere decir que la relación que exista entre el tanto de descuento d y el tanto de interés i en simple depende de la duración de la operación financiera.

Esto es bastante extraño y denota uno más de los problemas que supone la ley de descuento simple comercial.

Cuando hablamos de relación directa entre dos variables nos referimos a que se puede convertir una en otra sin la interferencia de cualquier otra variable. Por ejemplo, la relación que existe entre la temperatura medida en grados Celsius o en grados Fahrenheit es una relación directa y no depende de ninguna otra variable.

Ejemplo 2

Calcular el tanto de interés equivalente a un tanto de descuento d del 20% anual en simple, bajo los supuestos de que la operación dure 3 meses, o dure 2 años. Comprobar que efectivamente son equivalentes supuesto que el nominal se de 100.000 €.

Si la operación dura 3 meses veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.

i =  d / (1-d·n) =  0,2 / (1-0,2·(3/12)) = 21,0526315789474%


Si la operación dura 2 años veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.

i =  d / (1-d·n) =  0,2 / (1-0,2·2) = 33,33%

Observamos que la diferencia es importante y que, por tanto, la duración de la operación financiera (n) influye bastante.

Para comprobar que efectivamente producen los mismos resultados el tanto i y el tanto d equivalente tomemos el caso de la operación que dura 2 años y calculemos en ambos casos el efectivo. Si ambos efectivos coinciden quedará comprobado que ambos tantos son equivalentes.

Con la ley de descuento simple comercial y d=20%


Co = Cn (1-d·n) = 100.000 (1-0,2·2) = 60.000 €

Con la ley de descuento simple racional e i=33,33...%

Co = Cn / (1+i·n) = 100.000 / (1+0,3333...·2) = 60.000 €

En ambos casos obtenemos un efectivo (Co) de 60.000 € por lo que queda comprobado que d e i son equivalente.

Relación entre los descuentos D

La relación entre los tantos d e i que hemos obtenido se basa en igualar los efectivos (Co) de ambas leyes, o lo que es lo mismo, se basa en igualar los descuentos (D) de ambas leyes. También podemos hacer la comparación igualando los tantos d e i, y en ese caso obtendríamos que el descuento comercial (D_C) es mayor siempre que el descuento racional (D_R)

D_C > D_R

Como ejemplo, podemos ver el Ejemplo 1 que se encuentra al inicio de este apartado. Allí vimos que el descuento obtenido con la ley de descuento simple comercial es más duro, es mayor, que el obtenido con la ley de descuento simple racional.

Audio

Descuento simple racional

La Ley

Vimos que la ley de descuento simple comercial no es muy coherente ya que puede dar lugar a efectivos negativos si el plazo (n) es suficientemente grande. Además si se capitaliza en simple y luego se descuenta con la ley de descuento simple comercial no se llega al capital inicial de partida. Para evitar estos problemas surge la ley de descuento simple racional, o también denominada ley de descuento simple matemático.

Para obtener la ley de descuento simple racional partimos de la ley de capitalización simple y despejamos Co.

La ley de capitalización simple es la siguiente.

Despejando Co obtenemos la ley de descuento simple racional.

En realidad se trata de la misma ecuación, vista de una forma o de otra, según despejemos Co o Cn. Podemos decir que la ley de descuento simple racional es la inversa de la ley de capitalización simple. Se trata de la misma ecuación.

Este es el motivo de que en la ley de descuento racional el tanto de descuento se represente por la letra i como en el caso de la capitalización simple ya que en realidad se trata de la misma ecuación.


Característica distintiva

La característica distintiva de esta ley es que el descuento D es proporcional al plazo (n) y al efectivo (Co), siendo la constante de proporcionalidad el tanto i.

D=Co·n·i


Obtención de la Ley

Sabemos que en toda operación de descuento se cumple que el descuento (D) es la diferencia entre el nominal y el efectivo obtenido.

D=Cn-Co

Y hemos visto que la característica distintiva es que el descuento (D) es el producto del efectivo (Co), por la duración de la operación (n) y por el tanto (i).

D=Co·n·i

Tomando las dos expresiones anteriores e igualando D con D, obtenemos:

Co·n·i = Cn-Co

Agrupando a la izquierda los términos con Co y sacando factor común:

Co (1+n·i) = Cn

Con lo cual llegamos a la ley de descuento simple racional.

Ley de descuento simple Racional
Co = Cn / (1+i·n)

Ejemplo

Calcular el efectivo que se obtiene descontando un pagaré de nominal 70.000 €, a un plazo de 10 meses, aplicando descuento simple racional con un tanto del 12% anual.

Si trabajamos con el 12% anual debemos expresar n en años. Así, n=10/12 años.

Co = Cn / (1+i·n) = 70.000 / (1+0,12·(10/12)) = 63.636,36 €

Otra forma de calcular el efectivo es trabajar con los 10 meses y adaptar el tanto. Recordemos que en simple (tanto en descuento simple como en capitalización simple) los tantos equivalentes son proporcionales. Por tanto un 12% anual equivale a un 1% mensual.

Co = Cn / (1+i·n) = 70.000 / (1+(0,12/12)·10) = 70.000 / (1+0,01·10) = 63.636,36 €


Gráfico

Al realizar un gráfico de la ley de descuento simple racional observamos que la curva que se obtiene no es una línea recta. Es una curvo decreciente y asintótica al eje horizontal.

La asíntota tienede a cero pero el efectivo que se obtienen con la ley de descuento simple racional nunca será negativo, cosa que si sucede con el descuento simple comercial.

En horizontal (eje de abscisas) se representa la duración de la operación financiera (n).
En vertical (eje de ordenadas) se representa el efectivo obtenido con la operación de descuento (Co).

Audio

Descuento simple comercial

Se denomina descuento simple comercial, o tan solo descuento comercial. También se le conoce como descuento bancario, por ser el habitual en la práctica bancaria. Es el tipo de descuento más utilizado en la práctica financiera para operaciones de corto plazo.

Característica distintiva

Se caracteriza porque el descuento aplicado D es proporcional al nominal (Cn) y a la duración de la operación financiera (n). A esa constante de proporcionalidad la denominamos d, que es el tanto de descuento aplicable en este tipo de operaciones.

D=Cn·n·d

de la expresión anterior podemos despejar d

d = D/(Cn·n)

Ejemplo 1

Para un nominal de 1.000 euros y una duración de 1 año, si el descuento aplicado en euros D es de 100 €, entonces es que la constante de proporcionalidad d, o tanto de descuento es del 10%. Comprobemoslo:

D=100
Cn=1000
n=1
d=?

Calculando d obtenemos:

d = D/(Cn·n) = 100/(1000·1) = 0,1 = 10% anual

Ejemplo 2

Calcular el tanto de descuento d sabiendo que se trata de una operación de descuento de un pagaré similar al del caso anterior pero donde la duración de la operación es de medio año, y el descuento practicado ha sido de 50 €, siendo el nominal también de 1.000 €.

En este caso,

d = D/(Cn·n) = 50/(1000·0,5) = 0,1 = 10% anual

De esta forma, vemos que al tratarse de la mitad del tiempo y la mitad del descuento en euros, el tanto de descuento sigue siendo del 10%.


Deducción de la ley

Hemos dicho que la característica distintiva del descuento simple comercial es la proporcionalidad expresada por la siguiente fórmula:


D=Cn·n·d


También sabemos que el descuento D se obtiene como diferencia entre el nominal y el efectivo:

D=Cn-Co

Considerando ambas fórmulas y despejando el efectivo obtenemos lo siguiente:

Co = Cn-D = Cn - Cn·n·d = Cn(1-d·n)

Por tanto, la ley de descuento simple comercial es:

Ley de descuento simple Comercial
Co =  Cn (1-d·n)

Como en toda ley financiera es muy importante que la unidad temporal que se emplea en el tanto y en el tiempo sean la misma, y si no lo son hemos de transformarlas adecuadamente para que así sea.

• Si el tiempo viene expresado en años, el tanto debe ser anual
• Si el tiempo viene expresado en meses, el tanto debe ser mensual
• Y en general, siempre han de tener la misma unidad temporal el tanto y el tiempo

Ejemplo 3

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar una letra de cambio de nominal 100.000 € que vence dentro de 9 meses, y sobre la que se aplica un tanto de descuento del 10% anual. Calcular también el descuento practicado aplicando la ley de descuento simple comercial.

Para calcular el efectivo podemos aplicar la ley del descuento simple comercial.

Co =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,1·(9/12)) = 100.000(1-0,10·0,75)  =  100.000(1-0,075) = 100.000·0,925 =92.500 €

Observar que si empleamos d como tanto anual del 10%, entonces debemos adaptar el tiempo n para que venga expresado en años. Por eso, hemos tenido que tomar n como 9/12, que son los años que hay en 9 meses.

n = 9/12 = 0,75

Dicho de otra forma, 9 meses equivalen a 0,75 años.

Veamos qué descuento ha sido aplicado:

D = Cn-Co = 100.000 - 92.500 = 7.500 €

Otra forma de obtener D:

D=Cn·n·d = 100.000·(9/12)·0,1 = 7.500 €


Ejemplo 4

Calcular el efectivo que se obtiene en una operación de descuento simple comercial en la que el nominal es de 100.000 €, y se aplica un tanto de descuento del 8% semestral, durante 3 trimestres.

En este caso el tanto de descuento d es semestral y el tiempo viene dado en trimestres. Debemos homogeneizar las unidades temporales de d y n.

Podemos hacerlo de varias formas.

Método 1
Trabajando en trimestres. Hemos de adaptar el tanto. Lo que tenemos que hacer es calcular el equivalente trimestral de un 8% semestral.
En este caso:

• n=3 trimestres
• d=8%/2=4% trimestral
• Co =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,04·3) = 88.000 €

Método 2
Trabajando en semestres. Hemos de adaptar el tiempo. Lo que tenemos que hacer es calcular cuantos semestres hay en 3 trimestres.
En este caso:

• n=3/2=1,5 semestres
• d=8% semestral
• Co  =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,08·1,5) = 88.000 €

Método 3
Trabajando en años. Debemos adaptar el tanto y convertirle en un tanto de descuento anual, y también debemos adaptar el tiempo n calculándolo en años.
En este caso:

• n=3/4=0,75 años
• d=8%·2 = 16% anual
• Co  =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,16·0,75) = 88.000 €

Estas adaptaciones son sencillas ya que existe proporcionalidad. Lo importante es que la unidad temporal del tiempo y del tanto sea coincidente, ya que en caso contrario cometeremos un error y el resultado no será correcto.

Tantos de descuento equivalentes

El tanto de descuento simple comercial d se puede adaptar a otra unidad temporal de forma sencilla ya que existe proporcionalidad entre los tantos. Le sucede igual que al tanto de capitalización simple que también es proporcional.

Así, un tanto d del 12% anual equivale a un 1% mensual. También equivale a un 6% semestral y a un 3% trimestral. Lo que hemos de hacer para calcularlo es dividir entre m que es la frecuencia. Es el número de subperiodos que hay en el periodo. El periodo es el año, y el subperiodo puede ser:

• m=1. El periodo y el subperiodo coinciden. No hay fraccionamiento.
• m=2. El subperiodo es el semestre
• m=3. El subperiodo es el cuatrimestre
• m=4. El subperiodo es el trimestre
• m=6. El subperiodo es el bimestre
• m=12. El subperiodo es el mes
• m=52. El subperiodo es la semana
• m=360. El subperiodo es el día, trabajando con año comercial
• m=365. El subperiodo es el día, trabajando con año civil

De esta forma estaremos adaptando el tanto de descuento, aunque también podemos adaptar la unidad temporal.

Adaptar la unidad temporal

Si d viene expresado en un tanto anual y estamos trabajando con una unidad temporal distinta del año, podemos adaptar la unidad temporal n para que venga expresada en años.

Si d es un tanto anual, entonces n debe venir expresada en años.

Co = Cn (1-d·n) = Cn (1-d·(t/m))

como vemos estamos haciendo n=t/m. Esta es la adaptación necesaria para trabajar en años.

Ejemplo 5 

Calcular el efectivo obtenido en una operación de descuento comercial en la que el nominal es de 1.000 €, la duración es de 6 meses, y el tanto de descuento aplicable es del 8% anual.

En este caso, la frecuencia m es 12. Para expresar el tiempo en años n=t/m

n = meses/12 = 6/12 = 0,5 años

Calculemos el efectivo.

Co = Cn (1-d·(t/m)) = Cn(1-d·(meses/12) = 1.000(1-0,08·(6/12)) = 1.000(1-0,08·0,5) =

= 1.000(1-0,04) = 1.000·0,96 = 960 €

Al ver el producto de 0,08 por 0,5 ya vemos todo expresado en años. El tanto es 8% anual y la duración es de medio año.

Trabajando en días

Es muy frecuente trabajar el días en estas operaciones de corto plazo. Los plazos típicos son:

• 30
• 60
• 90
• 120
• 150
• 180
• 270
• 360

Al trabajar en días existen dos métodos. Uno supone trabajar con año comercial y el otro con año civil.


Trabajando en días la ley del descuento simple comercial resulta ser así:

Co = Cn (1-d·(días/m))


El parámetro m es la frecuencia, que es el denominador entre el que dividimos el número de días.

El año comercial supone que el año tiene 360 días. Se trata de intentar hacer que todos los meses tengan el mismo número de días. Si todos tienen 30 días, al tratarse de 12 meses en un año, se obtiene 12·30=360 días. Así, pues el año comercial trabaja suponiendo que el año tuviera 360 días. En este caso m=360.

El año civil supone que el año tiene 365 días. En este caso, la frecuencia es m=365.

Al trabajar con uno u otro sistema lo que cambia es la base.

Año comercial

• Trabajamos con m=360 días

Año civil

• Trabajamos con m=365 días

Ejemplo 6

Calcular el efectivo obtenido y el descuento practicado en una operación de descuento comercial con los siguientes datos, supuesto que se aplique año comercial o año civil. El nominal es de 100.000 €, el plazo es de 90 días, y el tanto de descuento es del 12% anual.

Veamos el caso del año comercial.

Co=Cn(1-dn) = Cn(1-d(días/360)) = 100.000(1-0,12·(90/360)) = 97.000 €

El descuento practicado es:

D = Cn·d·n = 100.000·0,12·(90/360) = 3.000 €

Veamos el caso del año civil.


Co=Cn(1-dn) = Cn(1-d(días/365)) = 100.000(1-0,12·(90/365)) = 97.041,10 €

El descuento practicado es:

D = Cn·d·n = 100.000·0,12·(90/365) =  2.958,90 €

Observar que el descuento más duro (el descuento mayor) es el del año comercial.

Por cierto, se me olvidaba comentar que en la práctica bancaria el más utilizado es el año comercial. ¿Se imagina el motivo?

Inconvenientes del descuento simple comercial

La ley de descuento simple comercial no es muy coherente ya que no cumple las propiedades mínimas que podríamos exigir a una buena ley. Veremos dos inconvenientes o problemas que tiene esta ley.

Primer inconveniente

La ley de descuento simple comercial puede dar lugar a efectivos negativos si el plazo (n) es suficientemente grande.

El descuento simple comercial únicamente es viable en el corto plazo, ya que a largo puede dar lugar a efectivos tan bajos que incluso pueden llegar a ser negativos. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 7

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar un nominal de 70.000 € que vence a 11 años, al aplicar un tanto de descuento del 10% anual.

El efectivo obtenido será:

Co = 70.000·(1-0,10·11) = 70.000·(1-1,1) = 70.000·(-0,10) = -7.000 €

Hemos obtenido un efectivo negativo, lo cual no tiene ninguna lógica. Supondría que al ir al banco con un pagaré o una letra de nominal 70.000 € para que el banco nos adelante el capital necesario para continuar con nuestro negocio, y al preguntar al banco cuánto dinero nos podrá proporcional, la repuesta sería sorprendente. El banco diría: «no solo no le tengo que dar dinero sino que es usted el que me ha de dar 7.000 euros».

Segundo inconveniente

La ley de descuento simple comercial es incoherente en cuanto a que si partimos de un capital inicial (Co) se capitaliza a interés simple y luego se descuenta con la ley de descuento simple comercial no se llega al capital de partida (Co).

Ejemplo 8

Partimos de un capital inicial (Co) de 100.000 €. Primero lo capitalizamos a interés simple del 8% durante dos años. Así, llegaremos a un capital final (Cn) que volveremos a descontar durante el mismo plazo y al mismo tanto. Calcular el efectivo al que se llega y verificar que no coincide con el capital inicial de partida.

Primero capitalizamos aplicando la ley de capitalización simple.

Cn = Co (1+in) = 100.000 (1+0,08*2) = 116.000 €

Ahora descontamos el montante obtenido aplicando la ley de descuento simple comercial.

C'o = Cn (1-dn) = 116.000 (1-0,08*2) = 97.440 €

Observamos que llegamos a una cifra diferente de los 100.000 € de partida que sería lo lógico para una ley financiera que fuera mínimamente coherente.

Estos inconvenientes del descuento simple comercial se intentarán paliar con el descuento simple racional o matemático, que al menos no participará de estos errores.


Gráfico

El gráfico de esta ley financiera es el de una línea recta al representar efectivo obtenido (Co) frente a plazo de la operación (n).

Con los datos del ejemplo anterior se observa que a los 10 años el efectivo obtenido (Co) es cero, y que para 11 años ya nos encontramos en la zona negativa.


Problemas resueltos

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

1. Diferencia descuentos
2. Diferencia de Efectivos al descontar con distinta base
3. Descontar dos letras de cambio
4. Transformar dos letras de cambio en otra
5. Descontar una letra ahora o dentro de unos meses

Operaciones de Descuento

Una operación de descuento es aquella en la que obtenemos el capital inicial Co en función del capital final Cn. El ejemplo típico es el del descuento de una letra de cambio, o cualquier otro efecto de comercio (pagarés, o simplemente una factura).

Veamos algunas páginas que nos aclaren que es una letra de cambio y un pagaré:

• La Letra de Cambio: concepto e introducción
  
• Wikipedia: Letra de cambio
• Wikipedia: pagaré

Imaginemos una empresa que vende a un cliente cierto bien o proporciona un servicio por el que factura 40.000 €. En la práctica habitual de ese mercado no es frecuente el pago al contado, sino que habitualmente se paga a los 120 días de haber emitido la factura. Supongamos que éste es el caso, y que la empresa suministradora necesita liquidez. Nuestra empresa es rentable pero aún así necesita hacer frente a sus pagos (nomina, materiales, impuestos,…) por lo que necesita recursos financieros. Salvo que disponga de recursos propios abundantes, o un préstamo que cubra sus necesidades financieras, la empresa necesitará urgentemente hacer líquido el importe de la factura. Para ello acude al banco a negociar el adelanto de dicho importe. El banco adelanta el importe con un importante descuento, ya que ésta forma de financiarse habitualmente resulta bastante onerosa. Esta operación bancaria se conoce como operación de descuento.

En una operación de descuento se descuenta un importe nominal (N) que vence dentro de n periodos. Hoy, instante t=0, obtenemos un efectivo (E), habiéndonos practicado el banco un descuento de importe D.

Por tanto, el descuento (D) es la diferencia entre el nominal (N) y el efectivo percibido (E).

D=N-E

El nominal N está haciendo el papel de capital final de la operación financiera, por lo que se identifica con Cn.

El efectivo E está haciendo el papel de capital inicial de la operación financiera, por lo que se identifica con Co.

El descuento D equivale a los intereses que percibe el banco por la prestación de su servicio financiero. El banco adelanta el cobro del capital a su cliente, y ha de esperar hasta el vencimiento del derecho de cobro para percibir el nominal. El descuento D que percibe el banco no se materializan hasta que no llega el vencimiento, y se procede al cobro del nominal que ha de pagar la empresa a la que se proporcionó el bien o servicio. En caso de impago, el banco no se hace cargo del quebranto, ya que el banco únicamente adelanta el nominal pero no asume el riesgo de impago, salvo que se pacte otro tipo de contrato, pero en ese caso ya no se trataría de una letra de cambio, o pagaré puros.

En nuestro ejemplo:

• El nominal es N=40.000
• El efectivo es E=38.800
• El descuento es D=1.200

La operación de descuento se realiza en base a cierta ley financiera de descuento. Existen varias leyes que se pueden aplicar:

1. Descuento simple comercial
2. Descuento simple racional
3. Descuento compuesto a tanto de interés i
4. Descuento compuesto a tanto de descuento d

De las cuatro leyes la que se utiliza en la práctica totalidad de los casos es el descuento simple comercial, aplicada en el corto plazo para operaciones de descuento de efectos de comercio.