Descuento simple comercial

Se denomina descuento simple comercial, o tan solo descuento comercial. También se le conoce como descuento bancario, por ser el habitual en la práctica bancaria. Es el tipo de descuento más utilizado en la práctica financiera para operaciones de corto plazo.

Característica distintiva

Se caracteriza porque el descuento aplicado D es proporcional al nominal (Cn) y a la duración de la operación financiera (n). A esa constante de proporcionalidad la denominamos d, que es el tanto de descuento aplicable en este tipo de operaciones.

D=Cn·n·d

de la expresión anterior podemos despejar d

d = D/(Cn·n)

Ejemplo 1

Para un nominal de 1.000 euros y una duración de 1 año, si el descuento aplicado en euros D es de 100 €, entonces es que la constante de proporcionalidad d, o tanto de descuento es del 10%. Comprobemoslo:

D=100
Cn=1000
n=1
d=?

Calculando d obtenemos:

d = D/(Cn·n) = 100/(1000·1) = 0,1 = 10% anual

Ejemplo 2

Calcular el tanto de descuento d sabiendo que se trata de una operación de descuento de un pagaré similar al del caso anterior pero donde la duración de la operación es de medio año, y el descuento practicado ha sido de 50 €, siendo el nominal también de 1.000 €.

En este caso,

d = D/(Cn·n) = 50/(1000·0,5) = 0,1 = 10% anual

De esta forma, vemos que al tratarse de la mitad del tiempo y la mitad del descuento en euros, el tanto de descuento sigue siendo del 10%.


Deducción de la ley

Hemos dicho que la característica distintiva del descuento simple comercial es la proporcionalidad expresada por la siguiente fórmula:


D=Cn·n·d


También sabemos que el descuento D se obtiene como diferencia entre el nominal y el efectivo:

D=Cn-Co

Considerando ambas fórmulas y despejando el efectivo obtenemos lo siguiente:

Co = Cn-D = Cn - Cn·n·d = Cn(1-d·n)

Por tanto, la ley de descuento simple comercial es:

Ley de descuento simple Comercial
Co =  Cn (1-d·n)

Como en toda ley financiera es muy importante que la unidad temporal que se emplea en el tanto y en el tiempo sean la misma, y si no lo son hemos de transformarlas adecuadamente para que así sea.

• Si el tiempo viene expresado en años, el tanto debe ser anual
• Si el tiempo viene expresado en meses, el tanto debe ser mensual
• Y en general, siempre han de tener la misma unidad temporal el tanto y el tiempo

Ejemplo 3

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar una letra de cambio de nominal 100.000 € que vence dentro de 9 meses, y sobre la que se aplica un tanto de descuento del 10% anual. Calcular también el descuento practicado aplicando la ley de descuento simple comercial.

Para calcular el efectivo podemos aplicar la ley del descuento simple comercial.

Co =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,1·(9/12)) = 100.000(1-0,10·0,75)  =  100.000(1-0,075) = 100.000·0,925 =92.500 €

Observar que si empleamos d como tanto anual del 10%, entonces debemos adaptar el tiempo n para que venga expresado en años. Por eso, hemos tenido que tomar n como 9/12, que son los años que hay en 9 meses.

n = 9/12 = 0,75

Dicho de otra forma, 9 meses equivalen a 0,75 años.

Veamos qué descuento ha sido aplicado:

D = Cn-Co = 100.000 - 92.500 = 7.500 €

Otra forma de obtener D:

D=Cn·n·d = 100.000·(9/12)·0,1 = 7.500 €


Ejemplo 4

Calcular el efectivo que se obtiene en una operación de descuento simple comercial en la que el nominal es de 100.000 €, y se aplica un tanto de descuento del 8% semestral, durante 3 trimestres.

En este caso el tanto de descuento d es semestral y el tiempo viene dado en trimestres. Debemos homogeneizar las unidades temporales de d y n.

Podemos hacerlo de varias formas.

Método 1
Trabajando en trimestres. Hemos de adaptar el tanto. Lo que tenemos que hacer es calcular el equivalente trimestral de un 8% semestral.
En este caso:

• n=3 trimestres
• d=8%/2=4% trimestral
• Co =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,04·3) = 88.000 €

Método 2
Trabajando en semestres. Hemos de adaptar el tiempo. Lo que tenemos que hacer es calcular cuantos semestres hay en 3 trimestres.
En este caso:

• n=3/2=1,5 semestres
• d=8% semestral
• Co  =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,08·1,5) = 88.000 €

Método 3
Trabajando en años. Debemos adaptar el tanto y convertirle en un tanto de descuento anual, y también debemos adaptar el tiempo n calculándolo en años.
En este caso:

• n=3/4=0,75 años
• d=8%·2 = 16% anual
• Co  =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,16·0,75) = 88.000 €

Estas adaptaciones son sencillas ya que existe proporcionalidad. Lo importante es que la unidad temporal del tiempo y del tanto sea coincidente, ya que en caso contrario cometeremos un error y el resultado no será correcto.

Tantos de descuento equivalentes

El tanto de descuento simple comercial d se puede adaptar a otra unidad temporal de forma sencilla ya que existe proporcionalidad entre los tantos. Le sucede igual que al tanto de capitalización simple que también es proporcional.

Así, un tanto d del 12% anual equivale a un 1% mensual. También equivale a un 6% semestral y a un 3% trimestral. Lo que hemos de hacer para calcularlo es dividir entre m que es la frecuencia. Es el número de subperiodos que hay en el periodo. El periodo es el año, y el subperiodo puede ser:

• m=1. El periodo y el subperiodo coinciden. No hay fraccionamiento.
• m=2. El subperiodo es el semestre
• m=3. El subperiodo es el cuatrimestre
• m=4. El subperiodo es el trimestre
• m=6. El subperiodo es el bimestre
• m=12. El subperiodo es el mes
• m=52. El subperiodo es la semana
• m=360. El subperiodo es el día, trabajando con año comercial
• m=365. El subperiodo es el día, trabajando con año civil

De esta forma estaremos adaptando el tanto de descuento, aunque también podemos adaptar la unidad temporal.

Adaptar la unidad temporal

Si d viene expresado en un tanto anual y estamos trabajando con una unidad temporal distinta del año, podemos adaptar la unidad temporal n para que venga expresada en años.

Si d es un tanto anual, entonces n debe venir expresada en años.

Co = Cn (1-d·n) = Cn (1-d·(t/m))

como vemos estamos haciendo n=t/m. Esta es la adaptación necesaria para trabajar en años.

Ejemplo 5 

Calcular el efectivo obtenido en una operación de descuento comercial en la que el nominal es de 1.000 €, la duración es de 6 meses, y el tanto de descuento aplicable es del 8% anual.

En este caso, la frecuencia m es 12. Para expresar el tiempo en años n=t/m

n = meses/12 = 6/12 = 0,5 años

Calculemos el efectivo.

Co = Cn (1-d·(t/m)) = Cn(1-d·(meses/12) = 1.000(1-0,08·(6/12)) = 1.000(1-0,08·0,5) =

= 1.000(1-0,04) = 1.000·0,96 = 960 €

Al ver el producto de 0,08 por 0,5 ya vemos todo expresado en años. El tanto es 8% anual y la duración es de medio año.

Trabajando en días

Es muy frecuente trabajar el días en estas operaciones de corto plazo. Los plazos típicos son:

• 30
• 60
• 90
• 120
• 150
• 180
• 270
• 360

Al trabajar en días existen dos métodos. Uno supone trabajar con año comercial y el otro con año civil.


Trabajando en días la ley del descuento simple comercial resulta ser así:

Co = Cn (1-d·(días/m))


El parámetro m es la frecuencia, que es el denominador entre el que dividimos el número de días.

El año comercial supone que el año tiene 360 días. Se trata de intentar hacer que todos los meses tengan el mismo número de días. Si todos tienen 30 días, al tratarse de 12 meses en un año, se obtiene 12·30=360 días. Así, pues el año comercial trabaja suponiendo que el año tuviera 360 días. En este caso m=360.

El año civil supone que el año tiene 365 días. En este caso, la frecuencia es m=365.

Al trabajar con uno u otro sistema lo que cambia es la base.

Año comercial

• Trabajamos con m=360 días

Año civil

• Trabajamos con m=365 días

Ejemplo 6

Calcular el efectivo obtenido y el descuento practicado en una operación de descuento comercial con los siguientes datos, supuesto que se aplique año comercial o año civil. El nominal es de 100.000 €, el plazo es de 90 días, y el tanto de descuento es del 12% anual.

Veamos el caso del año comercial.

Co=Cn(1-dn) = Cn(1-d(días/360)) = 100.000(1-0,12·(90/360)) = 97.000 €

El descuento practicado es:

D = Cn·d·n = 100.000·0,12·(90/360) = 3.000 €

Veamos el caso del año civil.


Co=Cn(1-dn) = Cn(1-d(días/365)) = 100.000(1-0,12·(90/365)) = 97.041,10 €

El descuento practicado es:

D = Cn·d·n = 100.000·0,12·(90/365) =  2.958,90 €

Observar que el descuento más duro (el descuento mayor) es el del año comercial.

Por cierto, se me olvidaba comentar que en la práctica bancaria el más utilizado es el año comercial. ¿Se imagina el motivo?

Inconvenientes del descuento simple comercial

La ley de descuento simple comercial no es muy coherente ya que no cumple las propiedades mínimas que podríamos exigir a una buena ley. Veremos dos inconvenientes o problemas que tiene esta ley.

Primer inconveniente

La ley de descuento simple comercial puede dar lugar a efectivos negativos si el plazo (n) es suficientemente grande.

El descuento simple comercial únicamente es viable en el corto plazo, ya que a largo puede dar lugar a efectivos tan bajos que incluso pueden llegar a ser negativos. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 7

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar un nominal de 70.000 € que vence a 11 años, al aplicar un tanto de descuento del 10% anual.

El efectivo obtenido será:

Co = 70.000·(1-0,10·11) = 70.000·(1-1,1) = 70.000·(-0,10) = -7.000 €

Hemos obtenido un efectivo negativo, lo cual no tiene ninguna lógica. Supondría que al ir al banco con un pagaré o una letra de nominal 70.000 € para que el banco nos adelante el capital necesario para continuar con nuestro negocio, y al preguntar al banco cuánto dinero nos podrá proporcional, la repuesta sería sorprendente. El banco diría: «no solo no le tengo que dar dinero sino que es usted el que me ha de dar 7.000 euros».

Segundo inconveniente

La ley de descuento simple comercial es incoherente en cuanto a que si partimos de un capital inicial (Co) se capitaliza a interés simple y luego se descuenta con la ley de descuento simple comercial no se llega al capital de partida (Co).

Ejemplo 8

Partimos de un capital inicial (Co) de 100.000 €. Primero lo capitalizamos a interés simple del 8% durante dos años. Así, llegaremos a un capital final (Cn) que volveremos a descontar durante el mismo plazo y al mismo tanto. Calcular el efectivo al que se llega y verificar que no coincide con el capital inicial de partida.

Primero capitalizamos aplicando la ley de capitalización simple.

Cn = Co (1+in) = 100.000 (1+0,08*2) = 116.000 €

Ahora descontamos el montante obtenido aplicando la ley de descuento simple comercial.

C'o = Cn (1-dn) = 116.000 (1-0,08*2) = 97.440 €

Observamos que llegamos a una cifra diferente de los 100.000 € de partida que sería lo lógico para una ley financiera que fuera mínimamente coherente.

Estos inconvenientes del descuento simple comercial se intentarán paliar con el descuento simple racional o matemático, que al menos no participará de estos errores.


Gráfico

El gráfico de esta ley financiera es el de una línea recta al representar efectivo obtenido (Co) frente a plazo de la operación (n).

Con los datos del ejemplo anterior se observa que a los 10 años el efectivo obtenido (Co) es cero, y que para 11 años ya nos encontramos en la zona negativa.


Problemas resueltos

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

1. Diferencia descuentos
2. Diferencia de Efectivos al descontar con distinta base
3. Descontar dos letras de cambio
4. Transformar dos letras de cambio en otra
5. Descontar una letra ahora o dentro de unos meses