Primero veamos cómo aplicar el descuento a un único periodo.
Supongamos que disponemos de un capital final (C1) que vence en t=1, y deseamos descontarle un periodo hasta llegar a un capital inicial (Co). Aplicamos un tanto de descuento d, y obtenemos Co con la siguiente expresión.
Co = C1 (1-d)
Ejemplo 1
Supongamos que el periodo es el año. Supongamos que C1 es 100 €, y que d es un tanto de descuento del 10%. En este caso, podemos obtener Co con el siguiente cálculo.
Co = C1 (1-d) = 100 (1-0,1) = 90 €
El descuento D ha sido:
D=C1-Co = 100 - 90 = 10 €
Ahora veamos como aplicar reiteradamente el descuento en compuesta.
En compuesta se acumulan los descuentos. Veamos cómo evolucionan los descuentos en los sucesivos periodos partiendo de un nominal (Cn) con vencimiento en t=n. Veremos el capital en t=n-1, luego en t=n-2, y así sucesivamente hasta llegar al capital inicial (Co).
| Periodo | Capital |
|---|---|
| n | Cn |
| n-1 | Cn(1-d) |
| n-2 | Cn(1-d)2 |
| n-3 | Cn(1-d)3 |
| .... | .... |
| 0 | Cn(1-d)n |
Partimos del instante t=n y vamos un periodo hacia atrás en el tiempo. Cada vez que retrocedemos un periodo multiplicamos por (1-d), ya que al estar en compuesta los descuentos se acumulan. De ahí surgen los exponentes, hasta llegar a la fórmula de la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d.
| Ley de descuento compuesto a tanto de descuento d |
|---|
| Co = Cn(1-d)n |
En la realidad financiera esta ley no se aplica prácticamente nunca. Nos sirve para completar los casos posibles pero no es habitual ver que se pacte una operación utilizando esta ley.
Ejemplo 2
Calcular el efectivo que se obtiene al descontar 48.828.125 € durante 4 años, aplicando descuento compuesto a una tasa de descuento d=20% anual.
Utilizando la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d, obtenemos lo siguiente.
Co = Cn(1-d)n = 48.828.125 (1-0,2)4 = 20.000.000 €
Relación entre i y d en compuesta
Existe una relación directa entre el tanto de interés (i) y el tanto de descuento (d) de las leyes de descuento compuesto.
Ambas leyes son las siguientes.
Co = Cn(1+i)-n
Co = Cn(1-d)n
Igualando los efectivos (Co=Co) obtenemos la siguiente expresión.
Cn(1+i)-n = Cn(1-d)n
Se simplifica la variable n al estar en ambos exponentes, y se simplifica Cn al estar en ambas parte de la igualdad. Así, obtenemos la siguiente expresión.
(1+i)-1 = (1-d)
Esta es la relación que liga el tanto de interés (i) y el tanto de descuento (d) de la compuesta.
Podemos despejar i obteniendo:
i = d / (1-d)
Podemos despejar d obteniendo:
d = i / (1+i)
La relación que existe entre d e i es una relación directa que no depende de ninguna otra variable. Recuerde que en simple obtuvimos una relación que dependía de n, con lo que en ese caso no era una relación directa.
Ejemplo 3
Calcular el tanto de interés (i) equivalente a un tanto de descuento (d) del 20% anual en compuesta.
Aplicamos la expresión:
i = d / (1-d) = 0,2 / (1-0,2) = 0,2 / 0,8 = 1/4 = 0,25 = 25% anual
Por tanto, en compuesta un tanto de interés del 20% siempre será equivalente a un tanto de descuento del 25%. La palabra "siempre" la utilizamos para indicar que esta relación no depende de ninguna otra variable como sucede en el caso de trabajar en simple.
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