Letra con comisiones

Una Letra del Tesoro a 18 meses la adquiere el Sr. A por 930 € y la vende a los 7 meses al Sr. B. Ambos inversores soportan comisiones de adquisición (3 €) y de amortización (4 €). Determinar la rentabilidad del Sr. A expresada en tanto efectivo anual, sabiendo que la del Sr. B ha sido del 4% efectivo anual.

---

Algunos comentarios:

1. La Letra del Tesoro por si sola supone unos lujos de caja de 930 en t=0 y 1.000 en t=18 meses. Los 930 se ponen negativos en el gráfico porque suponen un desembolso de tesorería. Las salidas de dinero se consideran negativas y las recuperaciones positivas. Si aplicas la Ley de Capitalización Compuesta a la Letra sería: 1000=930(1+r)^(18/12). Así r sería la TIR de la Letra. Pero esto para el problema no nos interesa.
2. Gráfico del Sr. A. Planteamos la operación para el Sr. A. El paga en t=0 los 930 de la Letra más 3 euros de la comisión de adquisición. En t=7 meses recibe, el precio de compra venta P menos la comisión de 4 euros.
3. Gráfico del Sr. B. El Sr. B para el precio P más una comisión de 3 euros, y a los 11 meses recibe, el nominal de 1.000 euros menos los 4 euros de comisión. Observar que en el eje de tiempos del Sr. B hemos usado dos ejes de tiempo, uno de de 8 a 18 meses, y justo debajo de él en color naranja se pone un eje de tiempos que va de 0 a 11 meses. Esto es muy frecuente y muchas veces veréis que utilizaremos ejes de tiempo alternativos, ya que el instante t=0 lo situamos donde nos resulte más cómodo para nuestros cálculos.
4. Ecuación del Sr. B. Al plantear la ecuación para el Sr. B, siguiendo la ley de cap. compuesta, vemos que el montante final Cn es 1000-4. Y el capital inicial Co es Co=(P+3). Ojo con esto, ya que en el gráfico pone que el flujo de caja es -P-3, pero pensar que va con signo negativo, luego en realidad es: -(P+3), y en la ecuación de la cap. compuesta no se pone el signo negativo, por tanto queda como (P+3). ¿Y porque no se pone el signo negativo en la ecuación?. La razón es que Cn y Co en la ecuación están en distinto lado del signo igual (=), y por tanto implícitamente ya llevan distinto signo. Por ejemplo, para el caso de la Letra completa, hemos dicho que la ecuación es: 1000=930(1+r)^(18/12), y si pasamos todo a la izquierda de la igualdad, queda 1000-930(1+r)^(18/12)=0. Ahora se ve que Cn y Co llegan signo distinto y el 930 va precedido de signo negativo. Por tanto, no os lies con los signos + y -.
5. Ecuación del Sr. A. Ya tenemos despejada P de la ecuación del Sr. B. y ahora solo falta sustituirla en la ecuación del Sr. A. Observar que al elevar (1+rA) a el número de años transcurridos (7/12), el valor de rA que obtengamos ya vendrá expresado en tanto efectivo anual. Si hubiéramos elevado solo a numero de meses (7), el tanto obtenido sería un mensual y tendríamos que analizado. Puedes comprobarlo.

Método 1

El precio al que compra el Sr, B es 960,828 € (con signo negativo porque es un flujo saliente, pagamos)

Pero te dicen que hay una comisión de adquisición de 3€, o sea, que el Sr. ha pagado 3 € de más al comprar la Letra del Tesoro. Entonces, la letra tiene un valor de 960,828€-3€ = 957,828 €.

En el caso del Sr. A, como ha tenido que pagar una comisión de amortización de 4€, habrá vendido la letra por los 957,828 € que vale la letra menos esa comisión, por tanto, el Sr. A tiene un montante de 957,828 €-4€ = 953,828€.

Método 2

Primero planteamos la tabla como se ve en la imagen: con las columnas tiempo, Letra, Sr. A y Sr. B.

Seguidamente comenzamos a rellenar.

En t=0... Letra = 930 €.
Sr. A = 930 + 3 de comisión.
Sr. B todavía no entra en juego.
NOTA: Valores negativos porque son flujos negativos. El Sr. A paga porque compra la Letra.

En t=7...Letra me da igual.
Sr. A= pones un valor cualquiera P menos los 4 € de comisión.
Sr. B= el mismo valor P que hayas elegido para poner en A más los 3 € de comisión
NOTA: Ese valor cualquiera será P. Como será el valor con el que jugaremos en Solver
para que la diferencia de intereses sea cero, lo ponemos en una celda aparte y en las
casillas Sr.A y Sr. B hacemos referencia a ella con fórmulas. Sr.A =P-4 Sr. B =P+3

En t =18...Letra 1000€
Sr. A= Ya nada, ya vendió en t=7
Sr. B= 1000€-4€ de comisión

Ahora:

• Sabemos que el interés efectivo del Sr. B es del 4%. Pues lo plantamos en la columna del Sr. B
• Debajo del Sr. A calculamos el interés efectivo con el valor de P que nos hayamos inventado
• iA = [(P-4)/933]^(7/12)-1, mediante TASA, etc.. y nos dará lo que sea en función de la P inventada
• Como los intereses del Sr. B y del Sr. A tienen que ser el 4%, Hacemos una casilla con la diferencia iB-iA

Y lanzamos Solver:

• Celda objetivo = la celda donde ponemos la diferencia iB-iA
• Forzamos que el valor de la celda objetivo sea 0 (igual interés (4%) para los dos señoritos)
• Celda que vamos a cambiar para conseguir esto: el valor P.

Con esto debería dar la solución correcta.

En la imagen se ve que primero se calcula la TIR (que en este caso, al trabajar por meses nos da el interés mensual) y luego se pasa a interés efectivo anual (fila TIR) que es lo que nos dice el enunciado que es el 4%, para sacar la diferencia y usar Solver.

Audio