Tres capitales vivos

De un préstamo francés de términos amortizativos mensuales conocemos tres capitales vivos. C12=442.000 €, C24=331.500 € y C36=214.370,0 €. Calcular la mensualidad constante.

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Observamos que los capitales vivos que nos dan corresponden al final de primer año, al final del segundo año y al final del tercer año.

El enunciado del problema nos dice que los términos son mensuales pero podemos imaginar que si fueran anuales los tres capitales vivos al final de los años 1, 2 y 3 serían los mismos y se denominarían C1, C2 y C3 respectivamente.

Esto hace que podamos calcular la cuota de amortización anual del segundo año A2 como diferencia entre los capitales vivos del primer y segundo año.

A2 = C2-C1 = 331500-442000 = 110500

También podemos calcular la cuota de amortización anual del tercer año A3 como diferencia entre los capitales vivos del segundo y tercer año.

A3 = C3-C2 = 442000-214370 = 117130

Conocidos los valores de A2 y A3 podemos calcular el tanto efectivo anual. Recodemos, que estamos suponiendo que los términos en lugar de mensuales son anuales.

En un préstamo francés se cumple que las cuotas de amortización crecen en progresión geométrica de razón (1+i). Esto es,

A3=A2*(1+i)

de donde podemos despejar el tanto efectivo anual i

i = (A3/A2)-1 = 117130/110500-1 = 6% efectivo anual

Ahora  podemos calcular i12 que es el tanto mensual efectivo

i₁₂=(1+i)^1/12-1

Todo el planteamiento anterior, suponiendo que el préstamo es de término anuales ha servido para calcular el tanto efectivo anual i, así como el tanto efectivo mensual i₁₂.

Ahora volvemos a considerar que el préstamo es realmente de términos amortizativos mensuales. En el siguiente gráfico representamos la operación entre los meses 12 y 24. Efectuamos la equivalencia financiera que nos permite calcular la mensualidad constante a.

Con estas ideas surgen los métodos 1 y 2 en Excel que emplean la función PAGO para calcular la mensualidad constante.

Método 3

Para calcular el tipo de interés hemos procedido como si los términos del préstamo fueran anuales pero realmente no lo son. Lo que si es cierto es que los capitales vivos al final de los años 1, 2 y 3 coinciden ya se pague mediante términos anuales o mensuales.

Pensando en términos anuales se cumple que lo siguiente.

C2=C1*(1+i)-anualidad

anualidad = C1*(1+i)-C2 = 442000*1,06-331500 = 137.020 €

También se cumple que el término anual que se paga al final del año ha de ser equivalente financieramente a los 12 pagos mensuales que se tendrían que efectuar si los términos fueran mensuales, valorados todos ellos a final de año.

Por tanto, el valor final de las 12 mensualidades pagadas cada año han de ser iguales a la anualidad constante.