Tanto medio

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Ejemplo

Supongamos una operación de capitalización compuesta a dos años donde los tipos de interés son los siguiente:

1. Primer año: i⁽¹⁾=5% anual
2. Segundo año i⁽²⁾=15% anual

Deseamos conocer el tanto medio equivalente i_M que es el tanto que da lugar al mismo montante que los tantos anteriores pero aplicado de forma constante durante los dos años.

Vamos a capitalizar de dos formas diferentes, partiendo de un capital inicial en ambas de 1 euro, y durante el mismo tiempo, dos años.

1. Primero vamos a capitalizar "del tirón", de una sola vez, durante los dos años, empleando el tanto de interés fijo i_M. El montante al que llegaremos será: (1+i_M)².
2. Luego vamos a capitalizar empleando de forma sucesiva los dos tantos. Si partimos de 1 euro y capitalizamos el primer año, llegamos a un montante, en t=1, que es (1+i⁽¹⁾)=(1+0,05). Si usamos ese importe de 1,05 € y lo capitalizamos el segundo año usando el tanto de 15%, obtendremos al final, en t=2, un montante que será: (1+i⁽¹⁾)*(1+i⁽²⁾)=1,05*1,15

Si igualamos los montantes obtenidos obtendremos la ecuación siguiente:

(1+i_M)²=1,05*1,15

Si despejamos i_M obtenemos su valor:

i_M = (1,05*1,15)^(1/2)-1

i_M = 0,098863 = 9,8863% anual

Concepto de Tanto Medio

En una operación de capitalización que dure varios periodos podemos calcular el montante final de dos formas:

1. Aplicando un tanto de interés constante (i) en capitalización compuesta. Llegamos a un montante dado por la ley de la capitalización compuesta: Cn=Co(1+i)ⁿ
2. Podemos aplicar un tanto variable, que puede llegar a ser diferente en cada uno de los n periodos que dura la operación. Supongamos que los tantos aplicables en cada periodo son los siguientes: i⁽¹⁾, i⁽²⁾, i⁽³⁾, ..., i⁽ⁿ⁾. El montante al que se llega aplicando reiteradamente la ley de capitalización compuesta es: Cn=Co(1+i⁽¹⁾)(1+ i⁽²⁾)(1+ i⁽³⁾) ··· (1+i⁽ⁿ⁾) 

El tanto medio (i_M) es aquel tanto que aplicado de forma constante a todo el periodo consigue llegar al mismo montante que aplicando diferentes tantos a lo largo de esos periodos, todo ello en capitalización compuesta.

El tanto medio es aquel que iguala los montantes indicados anteriormente:

1. Cn=Co(1+i_M)ⁿ 
2. Cn=Co(1+i⁽¹⁾)(1+ i⁽²⁾)(1+ i⁽³⁾) ··· (1+i⁽ⁿ⁾) 

Factor

En finanzas se define el Factor como (1+i), esto es, como uno más el tanto. Es un nombre adecuado porque justamente (1+i) es lo que va multiplicando a un capital inicial para llegar a un capital final, durante un periodo. Si en lugar de un periodo fueran n periodos se tendría que multiplicar el capital inicial por (1+i), n veces, tantas como periodos tengamos. Si el tanto i utilizado siempre es el mismo, al multiplicar n veces el factor (1+i) se obtiene el famoso (1+i)ⁿ de la ley de capitalización compuesta.

Pero si el tanto i no es constante sino que puede variar, aplicándose un tanto diferente cada periodo se llega a la fórmula

Expresión con la que podemos calcular el capital final Cn sin más que multiplicar el capital inicial por los diferentes factores que se forman a tipo variable. Para denotar los diferentes tantos hemos utilizado superindices metidos entre paréntesis para que no se confundan con una potencia.

Por simplificar, podemos partir de un capital inicial de1 euro. En ese caso, el montante final al que se llegaría usando los diferentes tantos variables o bien usando un tanto constante (Tanto Medio) se pueden igualar ya que el tanto medio produciría el mismo resultado que aplicar diferentes tantos a los largo de los n periodos.

Igualando obtenemos la expresión:

Esta expresión se puede poner en forma resumida usando el símbolo matemática de PRODUCTO que es una letra PI mayúscula.

Ahora despejamos el Tanto Medio y obtenemos la siguiente expresión:

Conviene ver el siguiente vídeo que lo resuelve en Excel por varios métodos.

Problemas resueltos

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

• Tanto Medio
• Tanto medio a 4 años
• Tanto medio de varios tramos
• Tanto medio de 7 años
• Tanto medio equivalente
• Tanto medio de dos tantos