Valor actual y valor final
Nos interesará conocer el valor financiero de la renta, valorada en algún instante de tiempo. Si la renta se valora en su origen estaremos calculando el valor actual en t=0. Si la renta se valora en su final, estaremos calculando el valor final de la renta en t=n. También podríamos valorar la renta en cualquier punto del eje de tiempos, pero los instantes de valoración más habituales son el origen y el final de la renta.
Suma financiera
Para valorar una renta en un instante del tiempo t=τ lo que se ha de hacer es trasladar financieramente todas las cuantías hasta ese punto, capitalizando las anteriores y descontando las posteriores a dicho instante.
La letra griega que hemos utilizado τ se llama tau, y se utiliza generalmente para designar un instante genérico de tiempo. Por tanto, τ representa un punto cualquiera del eje de tiempos.
IMPORTANTE: Las rentas se valoran utilizando la ley de capitalización compuesta.
Ejemplo 1
Calcular el valor final de una renta pospagable de 4 términos anuales de cuantía constante 100 €, valorada al 10% anual.
- Los 100 € que vencen en t=4 como ya están en t=4 valen 100 valorados en t=4
- Los 100 € que están en t=3 se han de capitalizar un año para llevarlos hasta t=4, llegando a valer 100 (1+0,1)
- Los 100 € que están en t=2 se han de capitalizar dos años para llevarlos hasta t=4, llegando a valer 100 (1+0,1)2
- Los 100 € que están en t=1 se han de capitalizar tres años para llevarlos hasta t=4, llegando a valer 100 (1+0,1)3
Sumando todos estos valores individuales obtenemos el valor final de la renta:
V4 = VF = 100 + 100 (1+0,1) + 100 (1+0,1)2 + 100 (1+0,1)3 = 464,10 €
Ejemplo 2
Calcular el valor actual de una renta pospagable de 4 términos anuales de cuantía constante 100 €, valorada al 10% anual.
Vamos a descontar en compuesta cada cuantía hasta el instante t=0. Comenzaremos tomando la cuantía que vence en t=1.
- Los 100 € que vencen en t=1 se han de descontar un año para llevarlos hasta t=0, llegando a valer 100 (1+0,1)-1
- Los 100 € que vencen en t=2 se han de descontar dos años para llevarlos hasta t=0, llegando a valer 100 (1+0,1)-2
- Los 100 € que vencen en t=3 se han de descontar tres años para llevarlos hasta t=0, llegando a valer 100 (1+0,1)-3
- Los 100 € que vencen en t=4 se han de descontar cuatro años para llevarlos hasta t=0, llegando a valer 100 (1+0,1)-4
Sumando todos estos valores individuales obtenemos el valor actual de la renta:
V0 = VA = 100 (1+0,1)-1 + 100 (1+0,1)-2 + 100 (1+0,1)-3 + 100 (1+0,1)-4 = 316,99 €
Trasladar financieramente el valor de una renta de un instante a otro
Podemos trasladar financieramente el valor de una renta de un instante a otro. Si una renta esta valorada en el instante t=0 y deseamos valorarla en el instante t=n, lo que tenemos que hacer es capitalizar (siempre en compuesta) durante n periodos.
El valor final de una renta se puede calcular capitalizando el valor actual durante n periodos.
Vn=Vo(1+i)n
Esta misma expresión podemos enunciarla en su versión recíproca:
El valor actual de una renta se puede calcular descontando el valor final durante n periodos.
Vo=Vn(1+i)-n
Ejemplo 3
Compruebe que es posible obtener el valor actual en función del valor actual y viceversa de los ejemplos 1 y 2 anteriores.
Se trata de comprobar que efectivamente:
V4 = V0 (1+i)n
Efectivamente, podemos comprobar que se cumple lo siguiente.
464,10 = 316,99 (1+0,1)4
Para cualquier instante genérico τ
Si deseamos valorar la renta en cualquier instante genérico τ lo que se ha de hacer es capitalizar todas las cuantías anteriores a τ hasta llegar a τ, y descontar todas las cuantías posteriores a τ hasta llegar a τ. El valor financiero de la renta en ese instante será la suma de los valores individuales una vez capitalizados y descontados convenientemente.
Ejemplo 4
Sea la renta de los ejemplos anteriores. Ahora deseamos valorarla en t=3.
Para conseguir nuestro objetivo disponemos de dos métodos.
Método 1
Hemos de valorar cada cuantía hasta llegar a t=3. En unos casos tendremos que capitalizar y en otros descontar. Para la cuantía que vence justo en t=3, no tendremos que capitalizar ni descontar, simplemente sumarla al total de forma integra.
Sumando todos estos valores individuales obtenemos el valor de la renta en t=3:
V3 = 100 (1+0,1)2 + 100 (1+0,1) + 100 + 100 (1+0,1)-1 = 421,91 €
Método 2
Si ya hemos calculado previamente el valor actual o final de la renta podemos partir de ese valor para luego llegar hasta el valor de la renta en t=τ. En nuestro caso, hemos de llegar a valorar la renta en t=3, y para ello podemos partir de cualquiera de los dos valores siguientes:
El resultado al que lleguemos ha de coincidir independientemente del valor de partida.
Partiendo del VA:
V3 = V0 (1+i)3 = 316,99 (1+0,1)3 = 421,91 €
Partiendo del VF:
V3 = V4 (1+i)-1 = 464,10 (1+0,1)-1 = 421,91 €
Ejemplo 5Podemos trasladar financieramente el valor de una renta de un instante a otro. Si una renta esta valorada en el instante t=0 y deseamos valorarla en el instante t=n, lo que tenemos que hacer es capitalizar (siempre en compuesta) durante n periodos.
El valor final de una renta se puede calcular capitalizando el valor actual durante n periodos.
Vn=Vo(1+i)n
Esta misma expresión podemos enunciarla en su versión recíproca:
El valor actual de una renta se puede calcular descontando el valor final durante n periodos.
Vo=Vn(1+i)-n
Ejemplo 3
Compruebe que es posible obtener el valor actual en función del valor actual y viceversa de los ejemplos 1 y 2 anteriores.
- Por el ejemplo 1 sabemos que V4 = 464,10 €
- Por el ejemplo 2 sabemos que V0 = 316,99 €
Se trata de comprobar que efectivamente:
V4 = V0 (1+i)n
Efectivamente, podemos comprobar que se cumple lo siguiente.
464,10 = 316,99 (1+0,1)4
Para cualquier instante genérico τ
Si deseamos valorar la renta en cualquier instante genérico τ lo que se ha de hacer es capitalizar todas las cuantías anteriores a τ hasta llegar a τ, y descontar todas las cuantías posteriores a τ hasta llegar a τ. El valor financiero de la renta en ese instante será la suma de los valores individuales una vez capitalizados y descontados convenientemente.
Ejemplo 4
Sea la renta de los ejemplos anteriores. Ahora deseamos valorarla en t=3.
Para conseguir nuestro objetivo disponemos de dos métodos.
Método 1
Hemos de valorar cada cuantía hasta llegar a t=3. En unos casos tendremos que capitalizar y en otros descontar. Para la cuantía que vence justo en t=3, no tendremos que capitalizar ni descontar, simplemente sumarla al total de forma integra.
- Los 100 € que vencen en t=1 se han de capitalizar dos años para llevarlos hasta t=3, llegando a valer 100 (1+0,1)2
- Los 100 € que vencen en t=2 se han de capitalizar un año para llevarlos hasta t=3, llegando a valer 100 (1+0,1)
- Los 100 € que vencen en t=3 como ya están en t=3 no se han de capitalizar ni descontar
- Los 100 € que vencen en t=4 se han de descontar un año para llevarlos hasta t=3, llegando a valer 100 (1+0,1)-1
Sumando todos estos valores individuales obtenemos el valor de la renta en t=3:
V3 = 100 (1+0,1)2 + 100 (1+0,1) + 100 + 100 (1+0,1)-1 = 421,91 €
Método 2
Si ya hemos calculado previamente el valor actual o final de la renta podemos partir de ese valor para luego llegar hasta el valor de la renta en t=τ. En nuestro caso, hemos de llegar a valorar la renta en t=3, y para ello podemos partir de cualquiera de los dos valores siguientes:
- Partiendo del VF: V4 = 464,10 €
- Partiendo del VA: V0 = 316,99 €
El resultado al que lleguemos ha de coincidir independientemente del valor de partida.
Partiendo del VA:
V3 = V0 (1+i)3 = 316,99 (1+0,1)3 = 421,91 €
Partiendo del VF:
V3 = V4 (1+i)-1 = 464,10 (1+0,1)-1 = 421,91 €
Calcular el valor actual (a 1 de enero) de renta que se ha de pagar durante un año por el alquiles de un piso. Los pagos son de 800 euros mensuales y se efectúan al inicio de cada mes. Valorar la renta al 12% nominal anual.
Como datos nos dan:
- j12=12% nominal anual
- a= 800 €/mes
- n=12 meses
Nos piden Vo que es el valor de la renta en t=0.
Tenemos que trabajar con un tanto de interés EFECTIVO que tenga la misma unidad temporal que la periodicidad de la renta. Esto supone que, debemos calcular el tanto efectivo mensual (i12).
i12 = j12/12 = 12%/12 = 1% efectivo mensual
El valor actual de la renta es la suma de los valores actuales individuales de cada cuantía componente.
V0 = VA = 800 + 800 (1+0,01)-1 + 800 (1+0,01)-2 + 800 (1+0,01)-3 + ··· + 800 (1+0,01)-11
V0 = 9.094,10 €
Muchas gracias, me fue de mucha ayuda.
ResponderEliminarAdolfo, te felicito por tu excelente blog, soy estudiante de FICO y me ha servido de una ayuda que no te puedes ni llegar a imaginar. Gracias de nuevo.
ResponderEliminarHola Juan Miguel.
EliminarMe alegro de que este blog te sirviera de ayuda.
Como dicen la la película "El hombre del bicentenario":
"Uno se alegra de resultar útil"
Un saludo.
La película es... Nivel 13, película de ciencia-ficción del año '99 !
ResponderEliminarHola.
EliminarEfectivamente la película es Nivel 13. También te plantea preguntas. Últimamente algunos físicos se estaban planteando en serio si lo de esta película podría ser real.
Tendré que volver a echarle un ojo! ;)
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