Valoración de futuros

La valoración se realiza utilizando argumentos de no-arbitraje. Creamos una cartera sintética que replica el activo analizado, donde no se dan oportunidades de arbitraje.

Supuestos

• La tasa libre de riesgo es la misma para préstamo y endeudamiento (para tomar y colocar fondos)
• Este supuesto no se verifica para todos los inversores puesto que existe un diferencial (spreed) entre las tasas activas y pasivas. Para los grandes inversores este diferencial e mínimo, pudiendo trabajar estas grandes entidades en el mercado realizando estrategias de arbitraje que acercan mucho los precios a los teóricos. 
• No existen oportunidades de arbitraje, o cuando existen se eliminan de forma inmediata.
• Una persona realiza una oportunidad de arbitraje cuando obtiene una ganancia cierta, sin realizar ninguna inversión inicial
• Las operaciones de arbitraje que realizaremos presuponen que podemos comprar o vender el activo subyacente.
• Cuando se detecta un activo sobrevalorado los arbitrajistas lo venden haciendo que su precio caiga y vuelva al de equilibrio (al teórico). Cuando detectan un activo infravalorado lo compran haciendo que su precio suba y vuelva al de equilibrio.
• Se pueden hacer ventas en descubierto, o bien el activo subyacente es mantenido por un gran número de inversores con fines exclusivos de inversión. En las operaciones de arbitraje, en ocasiones, es necesaria la venta del activo subyacente, que se puede resolver mediante estos dos métodos.
• Si no se dispone del activo subyacente, se supone que se pueden hacer ventas en descubierto. Esto es, se puede vender un bien que no se posee: se 'pide prestado' el bien y se vende en el mercado de contado. Transcurrido un tiempo determinado se compra el bien en el mercado de contado y se devuelve para cerrar la posición en descubierto. Si durante ese tiempo el activo paga cupones (en el caso de bonos) o dividendos (en el caso de acciones) estos se deben pagar al prestamista del activo.
• Si las ventas en descubierto no están permitidas se supondrá que el activo subyacente es un activo de inversión que poseen gran número de inversores y que si detectan una oportunidad de arbitraje no dudarán en desprenderse del activo ya que no se trata de un activo de control, sino meramente financiero.

Caso general

La forma de determinar el valor de un Forward se obtiene capitalizando el precio de contado actual del activo subyacente,  a la fecha futura, empleando cierta tasa de interés.

F = S (1 + r)ⁿ

F → Precio del forward. Contratado en t=0 al que se comprometen a realizar la transacción ambas partes. Se pagará a fecha de vencimiento, en t=n.
S → Precio del activo subyacente en el mercado de contado a fecha t=0.
r → Tasa de interés libre de riesgo
n → Plazo del contrato

Deducción de la fórmula

Veamos una tabla con tres activos.

• una acción o cartera de acciones
• un forward vendido
• un bono vendido 

La tabla tiene tres columnas, donde las dos últimas representan momentos diferentes del tiempo.

• columna t=0, representa el momento actual de firma del contrato forward
• columna t=n, representa el momento final, donde vence el contrato y se ha de realizar el pago y entregar el bien

	t=0	t=n
Forward comprado	0	Sn - F
Acción comprada	S	Sn
Bono vendido	-F(1+r)-n	-F

Si sumamos para t=n las dos última filas obtenemos S_n - F que es el valor del forward comprado en t=n. Por tanto si dos activos sumados (acción comprada y bono vendido) valen lo mismo que otro activo (forward comprado) a fecha de vencimiento (t=n) también valdrán lo mismo en el instante t=0. Esto nos permite igualar a cero la suma de S y -F(1+r)^-n .
La igualdad quedaría así
S-F(1+r)^-n=0
de donde podemos despejar F, y obtendremos la fórmula general que permite valorar un forward.
F = S (1+r)ⁿ

Otra forma de verlo, introduciendo una fila más que representa el total de la cartera que es suma de las tres filas previas.

	t=0	t=n
Acción comprada	S	Sn
Forward vendido	0	F-Sn
Bono vendido	-F(1+r)-n	-F
TOTAL cartera	S-F(1+r)-n	0

El valor de la cartera total se obtiene sumando los valores de los tres activos que la componen (acción, forward vendido y bono vendido). Observamos que el valor de la cartera a fecha de vencimiento que se obtiene haciendo la suma es cero. Y el valor de la cartera en t=0, obtenido haciendo la suma es S-F(1+r)^-n
Ahora igualaremos este valor a cero puesto que cero euros en t=n valen cero euros en t=0.
S-F(1+r)^-n =0
De la expresión anterior podemos despejar el valor del forward
F = S (1+r)ⁿ

Gráficamente

• Representamos en vertical tres gráficos. Se representa en vertical para ver mejor que la suma de los dos primeros nos da el tercero.
• En abcisas representamos el precio del activo subyacente (la acción) a fecha de vencimiento t=n. En ordenadas representamos el valor del activo a fecha de vencimiento.
• Gráfico de la acción.
• Es una línea recta de 45º grados, ya que los dos ejes (abcisas y ordenadas) son el mismo.
• Gráfico del bono vendido o emitido. Se trata de un bono cupón cero, que no paga intereses y únicamente se percibirá el nominal a fecha de vencimiento. Hacemos que el nominal sea de importe F. Como es un bono vendido o emitido su valor es negativo ya que el emisor tendrá que devolver el nominal llegada la fecha de vencimiento. El gráfico es una recta horizontal ya que el valor del bono a fecha de vencimiento no varía ante los diferentes precios que pueda tomar la acción.
• Gráfico del futuro (o forward) comprado. Es una recta creciente de 45º que corta el eje horizontal en el punto donde S_n =F.

Se puede ver que si al gráfico de la acción se le desplaza hacia abajo un escalón de importe -F, que es justo el bono vendido, lo que se obtiene es el gráfico del futuro.

Relación

• Gráficamente podemos observar que se cumple la relación siguiente.
• Futuro = Acción - Bono
• Cuando el activo es positivo indica que es comprado y cuando es negativo indica que es vendido o emitido.
• De esta forma, la fórmula anterior se puede expresar diciendo que:
• Un futuro comprado se puede replicar comprando la acción (el activo subyacente) y emitiendo un bono cupón cero al mismo plazo.
• Gracias a que tenemos la ecuación podemos despejar de otra forma, por ejemplo:
• Bono = Acción - Futuro
• La fórmula anterior se puede expresar diciendo que podemos simular un bono cupón cero sintético comprando la acción y vendiendo el futuro.

Notación

• m₀ → fecha en la que se firma un contrato forward
• m_T → fecha de vencimiento
• T = m_T - m₀ → plazo en días entre la realización del contrato y la entrega
• S_t = S_m → precio del activo subyacente en el instante t (t días después de haber firmado el contrato) o bien en la fecha m. El subíndice nos indica el momento en el que tomamos el precio del subyacente en el mercado spot.
• K= F₀ = F_m0 → precio pactado de entrega
• F_t = F_m → precio Forward (o Futuro) del subyacente en el momento t (o en la fecha m). Es el precio de entrega que debería acordarse si el contrato se firmara en ese momento.
• δ_(m;t)  → tasa de interés anual con capitalización continua, vigente en el instante m para préstamo o endeudamiento hasta un plazo t

El precio calculado para un forward y para un futuro coinciden cuando la tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos.

Activos sin flujos de fondos

En este caso consideramos que durante el tiempo de duración del contrato el activo subyacente no genera cobros ni pagos. Por ejemplo, si se trata de un bono no se paga cupón, y si se trata de acciones no pagan dividendo durante el tiempo de vigencia del contrato.

Precio de entrega

El valor de un contrato forward en el momento de la firma es cero puesto que ambas partes establecen las condiciones para que exista un equilibrio y contratan libremente.
El precio de entrega (K) del forward es el precio que se pacta en t=0. Es el precio al que se comprometen comprador y vendedor y que se ejecutará llegada la fecha de vencimiento del contrato.
K = F₀ = S₀ · exp(δ_(m;t) · T/365)