Manual Calculadora Financiera
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sábado, 17 de septiembre de 2011
Audio
Para facilitar la comprensión del libro de "Cálculo Financiero" seguidamente puedes acceder a unos archivos de audio donde se comentan los capítulos del manual. La idea es que los escuches con auriculares y con el libro abierto siguiendo los diferentes epígrafes que se van comentando.
Para el capítulo 2 de RENTAS son estos:
Para el capítulo 3 de PRESTAMOS son estos:
Para las funciones financieras lo primero que debes hacer es consultar la ayuda de Excel, sobre esa función. Si eso no es suficiente, mira en Google.
Las funciones financieras de Excel que usamos habitualmente no son tantas:
Para el capítulo 2 de RENTAS son estos:
Para el capítulo 3 de PRESTAMOS son estos:
Para las funciones financieras lo primero que debes hacer es consultar la ayuda de Excel, sobre esa función. Si eso no es suficiente, mira en Google.
Las funciones financieras de Excel que usamos habitualmente no son tantas:
- VA
- VF
- TASA
- NPER
- VNA y VNA.NO.PER
- TIR y sus variantes TIRM y TIR.NO.PER
- PAGO
jueves, 15 de septiembre de 2011
Rentas variables en progresión aritmética y perpetuas
Ya hemos visto las rentas variables en progresión aritmética temporales. Ahora vamos a ver estas mismas rentas pero perpetuas. Para ello, hacemos que el número de términos tienda a infinito.
Gráficamente
Valor Actual
Para calcular el valor actual tenemos que hacer el límite cuando n tiende a infinito del valor actual de la renta temporal.
Haciendo el límite obtenemos lo siguiente.
Ejemplo 2
Calcular el valor actual de una renta perpetua de términos anuales, prepagable, variable en progresión aritmética de primera cuantía 5.000, diferencia 100 y valorada al 7% anual.
Al tratarse de una renta prepagable lo primero que hacemos es pasarla a pospagable multiplicando por (1+i).
Dando valores
Vo= 1,07*91.836,73=98.265,31 €
Gráficamente
Valor Actual
Para calcular el valor actual tenemos que hacer el límite cuando n tiende a infinito del valor actual de la renta temporal.
Haciendo el límite obtenemos lo siguiente.
El valor actual de una renta variable en progresión aritmética y perpetua es el siguiente.
Valor Final
Como en toda renta perpetua no tiene sentido financiero preguntarnos por el valor final de la renta, aunque matemáticamente resulta ser infinito.
Ejemplo 1
Calcular el valor actual de una renta perpetua de términos anuales, pospagable, variable en progresión aritmética de primera cuantía 5.000, diferencia 100 y valorada al 7% anual.
Calculemos el valor actual con la fórmula anterior.
Vo= 91.836,73 €
Ejemplo 2
Calcular el valor actual de una renta perpetua de términos anuales, prepagable, variable en progresión aritmética de primera cuantía 5.000, diferencia 100 y valorada al 7% anual.
Al tratarse de una renta prepagable lo primero que hacemos es pasarla a pospagable multiplicando por (1+i).
Audio
miércoles, 14 de septiembre de 2011
Rentas variables en progresión aritmética
Las rentas variables en progresión aritmética son aquellas en las que un término se obtiene tomando el anterior y sumando una cantidad constante denominada diferencia de la progresión.
Utilizamos la siguiente notación:
El valor final se obtiene aplicando la fórmula siguiente.
Con Excel
Si disponemos de Excel lo mejor para calcular el valor actual de una renta de este tipo es hacer una tabla con las cuantías y aplicar la función VNA que calcula el VAN (Valor Actual Neto).
La fórmula de la celda F4 es:
=+VNA(7%;C6:C11)
Para obtener el valor final no existe una fórmula similar al VAN para valores finales, por lo que procedemos a capitalizar el valor actual durante n periodos.
Vn=Vo (1+i)n
La fórmula de la celda F5 es:
=+F4*1,07^6
Utilizamos la siguiente notación:
- C es la primera cuantía
- d es la diferencia de la progresión. Es la cantidad que se ha de ir sumando para ir obteniendo los diferentes términos de la renta
Gráficamente
Valor Actual
El valor actual de la renta se calcula con la siguiente expresión.
Valor Final
El valor final se obtiene con la siguiente fórmula.
Ejemplo
Calcular el valor actual y el valor final de una renta pospagable de 6 términos anuales, variable en progresión aritmétrica, donde el primer término es de 5.000 € y la diferencia es de 100 €. Valorar al 7% anual.
El valor actual se obtiene aplicando la fórmula siguiente.
Vo=24.930,54 €
El valor final se obtiene aplicando la fórmula siguiente.
Vn=37.414,01 €
Con Excel
Si disponemos de Excel lo mejor para calcular el valor actual de una renta de este tipo es hacer una tabla con las cuantías y aplicar la función VNA que calcula el VAN (Valor Actual Neto).
La fórmula de la celda F4 es:
=+VNA(7%;C6:C11)
Para obtener el valor final no existe una fórmula similar al VAN para valores finales, por lo que procedemos a capitalizar el valor actual durante n periodos.
Vn=Vo (1+i)n
La fórmula de la celda F5 es:
=+F4*1,07^6
Audio
Function VAaritmetica(C, d, n, i)
VAaritmetica = (C + d / i + d * n) * (1 - (1 + i) ^ -n) / i - d * n / i
End Function
martes, 13 de septiembre de 2011
Rentas variables en progresión geométrica y perpetuas
Ya hemos visto las rentas geométricas temporales y ahora vamos a ver las perpetuas.
Se trata de una renta geométrica, que al ser perpetua quiere decir que el número de términos tiende a infinito.
Gráficamente
Valor Actual
El valor actual es posible que de infinito cuando q>1+i y cuando q=1+i. En estos casos se dice que la renta diverge.
El valor actual da lugar a un número (distinto de infinito) cuando q<1+i. En este caso se dice que la renta convege. Este es el caso que estudiaremos y del que obtendremos una fórmula que nos de el valor actual.
Para obtener la fórmula del valor actual hemos de hacer el límite cuando n tiende a infinito del valor actual de la renta geométrica temporal cuando q<1+i.
Resumiendo los tres casos.
Valor Final
El valor final carece de sentido financiero, aunque matemáticamente resultaría ser infinito. No tiene sentido ir hasta el infinito para valorar una renta perpetua.
Ejemplo
Calcular el valor actual de una renta perpetua y variable en progresión geométrica, de términos anuales que se incrementan un 3% anual acumulado, siendo el primero de ellos de 1.000 €. Valorar la renta al 5% anual.
Al tratarse de una renta geométrica perpetua lo primero que debemos comprobar es si estamos en el caso de convergencia para el valor actual.
El valor actual es convergente si q<1+i. En este caso:
Se trata de una renta geométrica, que al ser perpetua quiere decir que el número de términos tiende a infinito.
Gráficamente
Valor Actual
El valor actual es posible que de infinito cuando q>1+i y cuando q=1+i. En estos casos se dice que la renta diverge.
El valor actual da lugar a un número (distinto de infinito) cuando q<1+i. En este caso se dice que la renta convege. Este es el caso que estudiaremos y del que obtendremos una fórmula que nos de el valor actual.
Para obtener la fórmula del valor actual hemos de hacer el límite cuando n tiende a infinito del valor actual de la renta geométrica temporal cuando q<1+i.
Resumiendo los tres casos.
Valor Final
El valor final carece de sentido financiero, aunque matemáticamente resultaría ser infinito. No tiene sentido ir hasta el infinito para valorar una renta perpetua.
Ejemplo
Calcular el valor actual de una renta perpetua y variable en progresión geométrica, de términos anuales que se incrementan un 3% anual acumulado, siendo el primero de ellos de 1.000 €. Valorar la renta al 5% anual.
Al tratarse de una renta geométrica perpetua lo primero que debemos comprobar es si estamos en el caso de convergencia para el valor actual.
El valor actual es convergente si q<1+i. En este caso:
- q=1,03
- 1+i=1,05
- se cumple que 1,03<1,05
Estamos en el caso de convergencia, lo cual significa que podemos calcular el valor actual con la fórmula vista anteriormente.
Vo=1000/(1,05-1,03)=1000/0,02=50.000 €.
Audio
sábado, 10 de septiembre de 2011
Rentas geométricas: deducción de las fórmulas
¿Qué es una renta geométrica?
Una renta de términos variables en progresión geométrica es aquella cuyos términos se obtienen multiplicando por una cantidad constante el término anterior.
Gráficamente
Vamos a utilizar la siguiente notación:
Una renta geométrica es aquella en la que los términos se incrementan (o reducen) en un cierto porcentaje de forma acumulada. Al hablar de variación acumulada, o incremento ACUMULADO, estamos indicando que la renta es geométrica.
Ejemplo 1
Estudiar una renta variable en progresión geométrica de términos anuales. El primero de ellos es de 100.000 €, y experimentan incrementos acumulados del 10% anual. Se valora al 7% anual.
Gráficamente
Para calcular cada uno de los términos hemos multiplicado el anterior por la razón que es q=1,1
Para calcular el valor actual de la renta podemos desconstar cuantía a cuantía hasta llegar al origen de la renta en t=0.
Vo= 601.552,99 €
Para calcular el valor final podemos capitalizar cuantía a cuantía hasta llegar el final de la renta en t=6, o bien, podemos capitalizar 6 años el valor actual.
V6=Vo(1+0,07)6= 902.768,83 €
Valor actual
Vamos a deducir una fórmula para evitar tener que calcular el valor actual descontando término a término.
Comencemos haciendo el desarrollo teórico del valor actual precisamente descontando término a término.
Sacamos factor común C, y expresemos los denominadores como potencias con exponente negativo.
Lo que tenemos dentro del corchete es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.
En nuestro caso, aplicado al sumatoria que se encuentra dentro del corchete [ ] obtenemos:
Aplicando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, obtenemos lo siguiente.
Hacemos la resta del denominador y finalmente simplificamos (1+i) que se encuentra arriba y abajo.
Así obtenemos la fórmula del caso general.
Esta fórmula es válida para casi todos los casos, por eso se dice que es el CASO GENERAL. Es válida para cualquier valor que cumpla que q es distinto de (1+i), ya que en ese caso el denominador se anula y para resolverlo tendríamos que utilizar otro método que conocemos como caso particular.
El CASO PARTICULAR se da cuando justamente q=(1+i). Vamos a deducir la fórmula para este caso.
Comenzamos descontando cuantía a cuantía tal y como hicimos anteriormente.
Ahora hacemos que q tome su valor, que para este caso es: q=(1+i)
Simplificamos un poco los (1+i) de numerador y denominador.
Así llegamos al fórmula final del CASO PARTICULAR:
Vamos a indicar en una misma expresión el caso general y el caso particular.
Valor final
El valor final se obtienen capitalizando n periodos el valor actual. Se conservarán los dos casos descritos, el caso general y el caso particular.
Ejemplo 2
Calcular el valor actual y final del ejemplo 1 utilizando las fórmulas que hemos deducido.
Los datos son:
Estamos en el caso general ya que q=1,1 y (1+i)=1+0,07=1,07, por tanto q es distinto de (1+i).
Aplicamos las fórmulas del caso general.
Para el valor actual tenemos lo siguiente.
Vo= 601.552,99 €
Para el valor final tenemos lo siguiente.
V6= 902.768,83 €
En Excel
Si disponemos de Excel lo mejor es hacer una tabla con las cuantías de la renta y aplicar la función VNA que calcula el VAN (Valor Actual Neto).
La celda F4 contiene la siguiente fórmula.
=+VNA(7%;C6:C11)
El valor final se obtiene capitalizando el valor actual durante n periodos.
La celda F5 contiene la siguiente fórmula:
=+F4*1,07^6
Vídeo
Puede ver el siguiente vídeo que muestra cómo se deducen a nivel teórico las fórmulas de una renta variable en progresión geométrica.
Una renta de términos variables en progresión geométrica es aquella cuyos términos se obtienen multiplicando por una cantidad constante el término anterior.
Gráficamente
Vamos a utilizar la siguiente notación:
- C es la primera cuantía de la renta. Es el importe del primer término de la renta.
- q es la razón de la progresión geométrica. Es el número por el que se ha de multiplicar una cuantía para obtener la siguiente
- i es el tipo de interés constante al que valoramos la renta. Si el periodo de la renta es el año, el i será un efectivo anual, pero si la periodicidad de la renta es diferente a la anual, el tanto utilizado siempre ha de ser el tanto EFECTIVO relativo a ese periodo
Hablemos de la RAZÓN q.
- Si q=1,05 supone que los términos de la renta se incrementarán un 5% acumulado
- Si q=1,1 supones que los términos de la renta se incrementarán un 10% acumulado
- Si q=1,12 supones que los términos de la renta se incrementarán un 12% acumulado
- Si q=0,97 supones que los términos de la renta se reducen un 3% acumulado
Una renta geométrica es aquella en la que los términos se incrementan (o reducen) en un cierto porcentaje de forma acumulada. Al hablar de variación acumulada, o incremento ACUMULADO, estamos indicando que la renta es geométrica.
Ejemplo 1
Estudiar una renta variable en progresión geométrica de términos anuales. El primero de ellos es de 100.000 €, y experimentan incrementos acumulados del 10% anual. Se valora al 7% anual.
Gráficamente
Para calcular cada uno de los términos hemos multiplicado el anterior por la razón que es q=1,1
Para calcular el valor actual de la renta podemos desconstar cuantía a cuantía hasta llegar al origen de la renta en t=0.
Vo= 601.552,99 €
Para calcular el valor final podemos capitalizar cuantía a cuantía hasta llegar el final de la renta en t=6, o bien, podemos capitalizar 6 años el valor actual.
V6=Vo(1+0,07)6= 902.768,83 €
Valor actual
Vamos a deducir una fórmula para evitar tener que calcular el valor actual descontando término a término.
Comencemos haciendo el desarrollo teórico del valor actual precisamente descontando término a término.
Sacamos factor común C, y expresemos los denominadores como potencias con exponente negativo.
Lo que tenemos dentro del corchete es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.
La fórmula que nos da la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica la podemos encontrar en este apartado: Sucesiones y series geométricas.
La fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
donde:
- a = Primer término
- r = Razón de la suma
En nuestro caso, aplicado al sumatoria que se encuentra dentro del corchete [ ] obtenemos:
- a = Primer término
- r = Razón de la suma
Aplicando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, obtenemos lo siguiente.
Hacemos la resta del denominador y finalmente simplificamos (1+i) que se encuentra arriba y abajo.
Así obtenemos la fórmula del caso general.
Esta fórmula es válida para casi todos los casos, por eso se dice que es el CASO GENERAL. Es válida para cualquier valor que cumpla que q es distinto de (1+i), ya que en ese caso el denominador se anula y para resolverlo tendríamos que utilizar otro método que conocemos como caso particular.
El CASO PARTICULAR se da cuando justamente q=(1+i). Vamos a deducir la fórmula para este caso.
Comenzamos descontando cuantía a cuantía tal y como hicimos anteriormente.
Ahora hacemos que q tome su valor, que para este caso es: q=(1+i)
Simplificamos un poco los (1+i) de numerador y denominador.
Así llegamos al fórmula final del CASO PARTICULAR:
Vamos a indicar en una misma expresión el caso general y el caso particular.
Valor final
El valor final se obtienen capitalizando n periodos el valor actual. Se conservarán los dos casos descritos, el caso general y el caso particular.
Ejemplo 2
Calcular el valor actual y final del ejemplo 1 utilizando las fórmulas que hemos deducido.
Los datos son:
- C=100.000 €
- q=1,1
- n=6
- i=7%
Estamos en el caso general ya que q=1,1 y (1+i)=1+0,07=1,07, por tanto q es distinto de (1+i).
Aplicamos las fórmulas del caso general.
Para el valor actual tenemos lo siguiente.
Vo= 601.552,99 €
Para el valor final tenemos lo siguiente.
V6= 902.768,83 €
En Excel
Si disponemos de Excel lo mejor es hacer una tabla con las cuantías de la renta y aplicar la función VNA que calcula el VAN (Valor Actual Neto).
La celda F4 contiene la siguiente fórmula.
=+VNA(7%;C6:C11)
El valor final se obtiene capitalizando el valor actual durante n periodos.
La celda F5 contiene la siguiente fórmula:
=+F4*1,07^6
Vídeo
Puede ver el siguiente vídeo que muestra cómo se deducen a nivel teórico las fórmulas de una renta variable en progresión geométrica.
Audio
Audio
viernes, 9 de septiembre de 2011
Valor final de una renta anticipada
Las rentas anticipadas son aquellas que tienen su punto de valoración más allá del final de la renta.
Si el final de la renta se encuentra en el instante t=n, la renta anticipada se valora en el instante t=α que es un instante que se encuentra a al derecha de n. Entre α y n hay h periodos.
h son los periodos de anticipación de la renta. α=n+h
Vamos a valorar en α una renta pospagable, unitaria, valorada a un tanto constante i.
Gráficamente.
El valor en α se obtiene valorando primero la renta en n y luego capitalizando h periodos.
El valor en α de la renta anticipada es:
Ejemplo 1
Disponemos de una renta de 5 términos anuales de 400 € valorada al 7% anual. Calcular el valor de la renta cuatro años después de haber abonado el último importe.
El final de la renta está en t=5. Nos están pidiendo el valor de la renta en t=9. Se trata de una renta pospagable de 5 términos anuales, y anticipada 4 años.
Gráficamente
Su valor en t=9 se obtiene capitalizando 4 años el valor final de la renta.
V9= 3.015,22 €
Ejemplo 2
El día 1 de cada mes se perciben 300 €. Este proceso dura desde marzo hasta julio, ambos incluidos. Se desea conocer el valor financiero de la renta a 31 de diciembre, valorando al 1% mensual.
Se trata de una renta de 5 términos mensuales que se desean valorar 6 meses después del vencimiento de su última cuantía.
Gráficamente
Sabemos donde se encuentra cada cuantía y sabemos que debemos valorar a finales de diciembre. Ahora debemos establecer dónde está el instante t=0. Si queremos que la renta sea una renta pospagable, el instante t=0 debemos situarlo al inicio del mes de febrero. Esto supondrá que la primera cuantía de 300 € venza en el instante t=1 y la última en el instante t=5. El instante alfa coincidirá con t=11.
Gráficamente
V11= 1.624,45 €
Ejemplo 3
Supongamos una renta de 8 términos anules constantes de 300 € cada uno. El primero vence en el instante t=5. Representar gráficamente y calcular el valor de la renta en t=0, denominado como Vo.
La representación gráfica es la siguiente.
Podemos considerar la renta como una renta prepagable o como una renta pospagable.
Si consideramos la renta como prepagable el valor actual de la renta quedaría valorado en t=5 y tendríamos que descontar luego desde t=5 hasta t=0. Esto supone que tendríamos que descontar 5 años. Veamos el gráfico y la fórmula que se obtiene.
Si consideramos la renta como pospagable el valor actual de la renta quedaría valorado en t=4 y tendríamos que descontar luego desde t=5 hasta t=0. Esto supone que tendríamos que descontar 5 años. Veamos el gráfico y la fórmula que se obtiene.
Podemos comprobar que ambos métodos conducen a la misma solución ya que se cumple que en la expresión de la renta prepagable para quitar los dos puntitos se multiplica por (1+i). Esto hace que en la renta prepagable tengamos (1+i)*(1+i)^-5 y en la renta pospagable tengamos (1+i)^-4. Comparando ambas expresiones vemos que coinciden.
Por tanto, muchas veces las rentas no son ni pre ni pos, son tal y como nos interese considerarlas, y lo hagamos de una forma o de otra, al valorar correctamente debemos obtener los mismos resultados.
Comprueba el caso anterior. Si suponemos que i=7% anual el valor de la renta en cero debería ser 1.366,64 €. Si los cálculos se hacen con Excel cualquiera de las dos siguientes fórmulas son válidas:
=VA(7%;8;-300;;1)*1,07^-5 --> Si consideramos la renta como prepagable
=VA(7%;8;-300)*1,07^-4 --> Si consideramos la renta como pospagble
VA=1.366,64 €.
Nota
En algunos libros se representan las rentas anticipadas con la siguiente notación.
Nosotros no utilizaremos esta simbología, y simplemente lo que haremos es aplicar la fórmula que capitaliza el valor final de la renta los h periodos necesarios hasta llegar al instante α.
Si el final de la renta se encuentra en el instante t=n, la renta anticipada se valora en el instante t=α que es un instante que se encuentra a al derecha de n. Entre α y n hay h periodos.
h son los periodos de anticipación de la renta. α=n+h
Vamos a valorar en α una renta pospagable, unitaria, valorada a un tanto constante i.
Gráficamente.
El valor en α se obtiene valorando primero la renta en n y luego capitalizando h periodos.
Disponemos de una renta de 5 términos anuales de 400 € valorada al 7% anual. Calcular el valor de la renta cuatro años después de haber abonado el último importe.
El final de la renta está en t=5. Nos están pidiendo el valor de la renta en t=9. Se trata de una renta pospagable de 5 términos anuales, y anticipada 4 años.
Gráficamente
Su valor en t=9 se obtiene capitalizando 4 años el valor final de la renta.
V9= 3.015,22 €
Ejemplo 2
El día 1 de cada mes se perciben 300 €. Este proceso dura desde marzo hasta julio, ambos incluidos. Se desea conocer el valor financiero de la renta a 31 de diciembre, valorando al 1% mensual.
Se trata de una renta de 5 términos mensuales que se desean valorar 6 meses después del vencimiento de su última cuantía.
Gráficamente
Sabemos donde se encuentra cada cuantía y sabemos que debemos valorar a finales de diciembre. Ahora debemos establecer dónde está el instante t=0. Si queremos que la renta sea una renta pospagable, el instante t=0 debemos situarlo al inicio del mes de febrero. Esto supondrá que la primera cuantía de 300 € venza en el instante t=1 y la última en el instante t=5. El instante alfa coincidirá con t=11.
Gráficamente
V11= 1.624,45 €
Ejemplo 3
Supongamos una renta de 8 términos anules constantes de 300 € cada uno. El primero vence en el instante t=5. Representar gráficamente y calcular el valor de la renta en t=0, denominado como Vo.
La representación gráfica es la siguiente.
Si consideramos la renta como prepagable el valor actual de la renta quedaría valorado en t=5 y tendríamos que descontar luego desde t=5 hasta t=0. Esto supone que tendríamos que descontar 5 años. Veamos el gráfico y la fórmula que se obtiene.
La fórmula que da el valor actual de la renta es la siguiente. Observe que para quitar los dos puntitos, que indican que la renta es prepagable, hemos multiplicado por (1+i).
Si consideramos la renta como pospagable el valor actual de la renta quedaría valorado en t=4 y tendríamos que descontar luego desde t=5 hasta t=0. Esto supone que tendríamos que descontar 5 años. Veamos el gráfico y la fórmula que se obtiene.
El valor actual de la renta se obtiene valorando la renta en t=4 y luego descontando 4 años.
Podemos comprobar que ambos métodos conducen a la misma solución ya que se cumple que en la expresión de la renta prepagable para quitar los dos puntitos se multiplica por (1+i). Esto hace que en la renta prepagable tengamos (1+i)*(1+i)^-5 y en la renta pospagable tengamos (1+i)^-4. Comparando ambas expresiones vemos que coinciden.
Por tanto, muchas veces las rentas no son ni pre ni pos, son tal y como nos interese considerarlas, y lo hagamos de una forma o de otra, al valorar correctamente debemos obtener los mismos resultados.
Comprueba el caso anterior. Si suponemos que i=7% anual el valor de la renta en cero debería ser 1.366,64 €. Si los cálculos se hacen con Excel cualquiera de las dos siguientes fórmulas son válidas:
=VA(7%;8;-300;;1)*1,07^-5 --> Si consideramos la renta como prepagable
=VA(7%;8;-300)*1,07^-4 --> Si consideramos la renta como pospagble
VA=1.366,64 €.
Nota
En algunos libros se representan las rentas anticipadas con la siguiente notación.
Nosotros no utilizaremos esta simbología, y simplemente lo que haremos es aplicar la fórmula que capitaliza el valor final de la renta los h periodos necesarios hasta llegar al instante α.
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