Renta geométrica fraccionada con faltas

Determinar el valor final de una renta pospagable, mensual, de 10 años de duración, que experimenta incrementos acumulados cada año del 4,0%, y que dentro de cada año es constante. La primera mensualidad es de 500 €. La mensualidad número 4 de cada año no se entrega. Valorar al 6,0% efectivo anual.

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Vea en el blog la resolución de un caso similar.

• Renta geométrica fraccionada con faltas

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La fórmula de la celda F13 es la siguiente:

=PERSONAL.XLSB!VFgeo(VF(C14;12;-C12)-C12*(1+C14)^(12-C17);C16;C11;C13)

Veamos tres métodos de resolución.

Las faltas.

Renta constante más renta geométrica mensual

Una persona invierte el 25% de sus ahorros en un negocio que produce unos ingresos de 700.000 € mensuales pospagables durante 5 años. Con el resto decide invertir en otro negocio que le proporciona ingresos durante 8 años, de C € al final del primer mes, aumentando un 0,4% mensual acumulado. Si cada uno de esos negocios le reporta una rentabilidad del 6,0% efectivo anual, calcular la cuantía C.

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Resuelto con ecuaciones

Resuelto con Excel

Reserva matemática de una operación financiera

Calcular la Reserva Matemática por la derecha, en t=5, de la siguiente operación financiera. La Prestación está compuesta por los siguientes capitales financieros: (109.000;0), (285.000;2), (X;4), (273.000;7), (279.000;12). La Contraprestación está compuesta por los siguientes capitales financieros: (617.000;1), (331.000;3), (974.000;5), (393.000;9).Todos los capitales financieros estan dados en la forma (C;t) donde C es la cuantía expresada en euros y t es el instante de vencimiento expresado en años. Siendo X el importe necesario para que la operación esté equilibrada al 8,0% anual.

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La fórmula de la celda E28 es la siguiente:

=(VNA($C$11;$D$24:$D$36)-VNA($C$11;$C$24:$C$36))*(1+$C$11)^($B$19+1)

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Préstamo variable en progresión geométrica

Puede descargar el archivo prestamoGeoAnual.xlsx

Un préstamo variable en progresión geométrica es aquel en el que los términos amortizativos varian según esta progresión, siendo el primero de importa a, y los sucesivos se obtienen multiplicando el anterior por la razón q.

Efectuamos la Equivalencia Financiera entre prestación y contraprestación en t=0. De esa ecuación despejamos a.

El capital vivo al final del periodo s (Cs) se puede obtener por el método prospectivo como el valor actual de lo que nos queda por pagar.

También podemos obtener el capital vivo Cs por el método retrospectivo.

Comparación con un préstamo Francés

Ejemplo

Datos.

• Principal Co=100.000
• n=10 años
• tipo de interés i=9% anual
• razón q=1,03

Solución.

• a = 13.878,76 €
• C6 = 55.974,91 €

Magnitudes de un préstamo

El capital amortizado Ms es el acumulado de la cuota de amortización. Veamos dos forma de acumular.

En un préstamo francés los términos amortizativos son constantes de importe a. Para calcular su importe efectuamos la Equivalencia Financiera en t=0, que nos dice que:

Prestación valorada en cero es igual a Contraprestación valorada en cero.

El valor actual de una renta unitaria pospagable en Excel se puede calcular con la función VA aplicada a 1 euro:

=VA(i;n;-1)

El tanto i utilizado ha de ser el efectivo que tenga la misma unidad temporal que n. Si n son años el tanto será efectivo anual, si el n vine expresado en meses el tanto será el efectivo mensual y así sucesivamente.

Calcular n

De la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación podemos despejar n utilizando logaritmos.

Audio

Esquema dinámico de un préstamo

Podemos observar cómo evoluciona el capital vivo o saldo financiero de un préstamo, entendido como la reserva matemática por la derecha.

El capital vivo al final del periodo s se puede calcular por el método recurrente de la siguiente forma:

El capital vivo en s (C_s) es igual a capital en el periodo anterior (C_s-1) capitalizado un periodo [multiplicando por (1+i)] y luego pagamos a euros (restamos a).

Evolución de las magnitudes

En un préstamo francés, donde el pago realizado (término amortizativo) es constante (a=cte.) podemos ver que la cuota de intereses disminuye cada periodo ya que se calcula multiplicando el tipo de interés por el capital vivo del periodo anterior, y éste va disminuyendo a medida que el préstamo se va amortizando. Puesto que la suma de cuota de intereses (Is) y cuota de amortización (As) es constante en un préstamo francés, se tiene que cumplir que si la cuota de intereses va disminuyendo, entonces la cuota de amortización debe ir aumentando.

Is  → Disminuye

As → Aumenta

a = Is + As

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