Descuento compuesto a tanto de descuento d

Formación de la Ley

Primero veamos cómo aplicar el descuento a un único periodo.

Supongamos que disponemos de un capital final (C₁) que vence en t=1, y deseamos descontarle un periodo hasta llegar a un capital inicial (Co). Aplicamos un tanto de descuento d, y obtenemos Co con la siguiente expresión.

Co = C₁ (1-d)

Ejemplo 1

Supongamos que el periodo es el año. Supongamos que C₁ es 100 €, y que d es un tanto de descuento del 10%. En este caso, podemos obtener Co con el siguiente cálculo.

Co = C₁ (1-d) = 100 (1-0,1) = 90 €

El descuento D ha sido:

D=C₁-Co = 100 - 90 = 10 €

Ahora veamos como aplicar reiteradamente el descuento en compuesta.

En compuesta se acumulan los descuentos. Veamos cómo evolucionan los descuentos en los sucesivos periodos partiendo de un nominal (Cn) con vencimiento en t=n. Veremos el capital en t=n-1, luego en t=n-2, y así sucesivamente hasta llegar al capital inicial (Co).

Periodo	Capital
n	Cn
n-1	Cn(1-d)
n-2	Cn(1-d)2
n-3	Cn(1-d)3
....	....
0	Cn(1-d)n

Partimos del instante t=n y vamos un periodo hacia atrás en el tiempo. Cada vez que retrocedemos un periodo multiplicamos por (1-d), ya que al estar en compuesta los descuentos se acumulan. De ahí surgen los exponentes, hasta llegar a la fórmula de la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d.

Ley de descuento compuesto a tanto de descuento d
Co = Cn(1-d)n

En la realidad financiera esta ley no se aplica prácticamente nunca. Nos sirve para completar los casos posibles pero no es habitual ver que se pacte una operación utilizando esta ley.

Ejemplo 2

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar 48.828.125 € durante 4 años, aplicando descuento compuesto a una tasa de descuento d=20% anual.

Utilizando la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d, obtenemos lo siguiente.

Co = Cn(1-d)ⁿ = 48.828.125 (1-0,2)⁴ = 20.000.000 €

Relación entre i y d en compuesta

Existe una relación directa entre el tanto de interés (i) y el tanto de descuento (d) de las leyes de descuento compuesto.

Ambas leyes son las siguientes.

Co = Cn(1+i)^-n
Co = Cn(1-d)ⁿ

Igualando los efectivos (Co=Co) obtenemos la siguiente expresión.

Cn(1+i)^-n = Cn(1-d)ⁿ

Se simplifica la variable n al estar en ambos exponentes, y se simplifica Cn al estar en ambas parte de la igualdad. Así, obtenemos la siguiente expresión.

(1+i)^-1 = (1-d)

Esta es la relación que liga el tanto de interés (i) y el tanto de descuento (d) de la compuesta.

Podemos despejar i obteniendo:

i = d / (1-d)

Podemos despejar d obteniendo:

d = i / (1+i)

La relación que existe entre d e i es una relación directa que no depende de ninguna otra variable. Recuerde que en simple obtuvimos una relación que dependía de n, con lo que en ese caso no era una relación directa.

Ejemplo 3

Calcular el tanto de interés (i) equivalente a un tanto de descuento (d) del 20% anual en compuesta.

Aplicamos la expresión:

i = d / (1-d) = 0,2 / (1-0,2) = 0,2 / 0,8 = 1/4 = 0,25 = 25% anual

Por tanto, en compuesta un tanto de interés del 20% siempre será equivalente a un tanto de descuento del 25%. La palabra "siempre" la utilizamos para indicar que esta relación no depende de ninguna otra variable como sucede en el caso de trabajar en simple.

Audio

Descuento compuesto a tanto de interés i

La ley de descuento compuesto a tanto de interés i se obtiene sin más que despejar de la ley de la capitalización compuesta.

La ley de la capitalización compuesta es:

Cn = Co (1+i)ⁿ

Despejando el capital inicial (Co) se obtiene la ley de descuento compuesto a tanto de interés i.

Co = Cn / (1+i)ⁿ

O también se puede expresar utilizando exponente negativo y multiplicando

Ley de descuento compuesto a tanto de interés i
Co = Cn (1+i)-n

También existe la ley de descuento compuesto a tanto de descuento d, pero la que realmente utilizaremos en la inmensa mayoría de los casos es la ley de descuento compuesto a tanto de interés i. Este es el motivo por el que cuando hablemos de ley de descuento compuesto, sin especificar a que tanto se aplica, entenderemos que se trata del tanto i, ya que es la más utilizada.

Observe que la ley de descuento compuesto que acabamos de ver es en realidad la misma ecuación que la de utilizada en  la ley de capitalización compuesta, salvo que ha hablar de capitalización despejamos Cn y al hablar de descuento despejamos Co.

Ejemplo

Dado un capital inicial de 18.000 € calcular el montante obtenido si se capitalizara en capitalización compuesta durante 10 años al 7% anual. Comprobar que al aplicar descuento compuesto se llega al capital inicial de partida.

Veamos los datos:
Co = 18.000 €
n = 10 años
i = 7% anual
Nos piden el capital final o montante (Cn) aplicando la ley de capitalización compuesta.

Cn = Co (1+i)ⁿ = 18.000 (1+0,07)¹⁰ = 35.408,72 €

Calculemos ahora el capital inicial (Co) que se obtiene descontando con la ley de descuento compuesto.

Co = Cn (1+i)^-n = 35.408,72 (1+0,07)^-10 = 18.000 €

Obviamente llegamos al capital inicial de 18.000 € ya que, en realidad, se trata de la misma ecuación, que utilizamos despejando Cn o Co según nos interese capitalizar o descontar.

Comparación entre los descuentos simples

En la práctica financiera la ley que se utiliza es la descuento simple comercial, pese a los inconvenientes que tiene. La ley de descuento simple racional es muy poco utilizada en la práctica bancaria.

Ejemplo 1

Calcular el descuento D aplicado a una operación de descuento cuyo nominal es de 100.000 €, vencimiento a 270 días, y tasa del 12%, en los dos casos siguientes:

1. Aplicando descuento simple comercial y año comercial
2. Aplicando descuento simple racional y año comercial

El descuento D en el caso del descuento simple comercial es:

D=Cn·n·d

En nuestro caso hemos de adaptar n para expresarlo en años y considerar que la base es 360.

D = 100.000·(270/360)·12% = 9.000 €

El descuento D en el descuento simple racional es:

D=Co·n·i

Como no conocemos el efectivo Co tendremos que calcularlo previamente con la ley.

Co = Cn / (1+i·n) = 100.000 / (1+0,12·(270/360)) = 91.743,12 €

Ahora ya podemos calcular D con la fórmula anterior.

D=Co·n·i = 91.743,12·(270/360)·0,12 = 8.256,88 €

o bien, restando al nominal el efectivo.

D = Cn - Co = 100.000 - 91.743,12 = 8.256,88 €

Observe que el descuento mayor, el descuento más duro se aplica con la ley de descuento simple comercial.

¿Por qué cree usted que el descuento simple comercial es el más utilizado en banca, a pesar de sus inconvenientes?

Gráfico comparativo


Podemos realizar un gráfico comparativo entre la ley de descuento simple comercial y la ley de descuento simple racional.

La curva del descuento simple racional no es una línea recta, es decreciente y asintótica al eje horizontal. El efectivo que se obtienen con la ley de descuento simple racional nunca será negativo, cosa que si sucede con el descuento simple comercial.

En horizontal (eje de abcisas) se representa la duración de la operación financiera (n).
En vertical (eje de ordenadas) se representa el efectivo obtenido con la operación de descuento (Co).


Relación entre los tantos

Veamos la relación que existe entre:

• El tanto de descuento (d) de la ley de descuento simple comercial, y
• El tanto de interés (i) de la ley de descuento simple racional

Tomemos las dos leyes de descuento.

Co = Cn (1-d·n)
Co = Cn / (1+i·n)

Igualemos los efectivos Co=Co

Cn (1-d·n) = Cn / (1+i·n)

Los nominales al estar en ambas partes de la igualdad se simplifican.

(1-d·n) = 1 / (1+i·n)

Vamos a despejar i.

 (1+i·n) = 1 / (1-d·n)
 i·n = [1 / (1-d·n)] - 1 = [1 - (1-d·n)] / (1-d·n) = (d·n) / (1-d·n)

Finalmente hemos obtenido que i es:

i =  d / (1-d·n)

Observamos que no existe una relación de conversión directa entre i y d, ya que en la fórmula anterior aparece n. Esto quiere decir que la relación que exista entre el tanto de descuento d y el tanto de interés i en simple depende de la duración de la operación financiera.

Esto es bastante extraño y denota uno más de los problemas que supone la ley de descuento simple comercial.

Cuando hablamos de relación directa entre dos variables nos referimos a que se puede convertir una en otra sin la interferencia de cualquier otra variable. Por ejemplo, la relación que existe entre la temperatura medida en grados Celsius o en grados Fahrenheit es una relación directa y no depende de ninguna otra variable.

Ejemplo 2

Calcular el tanto de interés equivalente a un tanto de descuento d del 20% anual en simple, bajo los supuestos de que la operación dure 3 meses, o dure 2 años. Comprobar que efectivamente son equivalentes supuesto que el nominal se de 100.000 €.

Si la operación dura 3 meses veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.

i =  d / (1-d·n) =  0,2 / (1-0,2·(3/12)) = 21,0526315789474%


Si la operación dura 2 años veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.

i =  d / (1-d·n) =  0,2 / (1-0,2·2) = 33,33%

Observamos que la diferencia es importante y que, por tanto, la duración de la operación financiera (n) influye bastante.

Para comprobar que efectivamente producen los mismos resultados el tanto i y el tanto d equivalente tomemos el caso de la operación que dura 2 años y calculemos en ambos casos el efectivo. Si ambos efectivos coinciden quedará comprobado que ambos tantos son equivalentes.

Con la ley de descuento simple comercial y d=20%


Co = Cn (1-d·n) = 100.000 (1-0,2·2) = 60.000 €

Con la ley de descuento simple racional e i=33,33...%

Co = Cn / (1+i·n) = 100.000 / (1+0,3333...·2) = 60.000 €

En ambos casos obtenemos un efectivo (Co) de 60.000 € por lo que queda comprobado que d e i son equivalente.

Relación entre los descuentos D

La relación entre los tantos d e i que hemos obtenido se basa en igualar los efectivos (Co) de ambas leyes, o lo que es lo mismo, se basa en igualar los descuentos (D) de ambas leyes. También podemos hacer la comparación igualando los tantos d e i, y en ese caso obtendríamos que el descuento comercial (D_C) es mayor siempre que el descuento racional (D_R)

D_C > D_R

Como ejemplo, podemos ver el Ejemplo 1 que se encuentra al inicio de este apartado. Allí vimos que el descuento obtenido con la ley de descuento simple comercial es más duro, es mayor, que el obtenido con la ley de descuento simple racional.

Audio

Descuento simple racional

La Ley

Vimos que la ley de descuento simple comercial no es muy coherente ya que puede dar lugar a efectivos negativos si el plazo (n) es suficientemente grande. Además si se capitaliza en simple y luego se descuenta con la ley de descuento simple comercial no se llega al capital inicial de partida. Para evitar estos problemas surge la ley de descuento simple racional, o también denominada ley de descuento simple matemático.

Para obtener la ley de descuento simple racional partimos de la ley de capitalización simple y despejamos Co.

La ley de capitalización simple es la siguiente.

Despejando Co obtenemos la ley de descuento simple racional.

En realidad se trata de la misma ecuación, vista de una forma o de otra, según despejemos Co o Cn. Podemos decir que la ley de descuento simple racional es la inversa de la ley de capitalización simple. Se trata de la misma ecuación.

Este es el motivo de que en la ley de descuento racional el tanto de descuento se represente por la letra i como en el caso de la capitalización simple ya que en realidad se trata de la misma ecuación.


Característica distintiva

La característica distintiva de esta ley es que el descuento D es proporcional al plazo (n) y al efectivo (Co), siendo la constante de proporcionalidad el tanto i.

D=Co·n·i


Obtención de la Ley

Sabemos que en toda operación de descuento se cumple que el descuento (D) es la diferencia entre el nominal y el efectivo obtenido.

D=Cn-Co

Y hemos visto que la característica distintiva es que el descuento (D) es el producto del efectivo (Co), por la duración de la operación (n) y por el tanto (i).

D=Co·n·i

Tomando las dos expresiones anteriores e igualando D con D, obtenemos:

Co·n·i = Cn-Co

Agrupando a la izquierda los términos con Co y sacando factor común:

Co (1+n·i) = Cn

Con lo cual llegamos a la ley de descuento simple racional.

Ley de descuento simple Racional
Co = Cn / (1+i·n)

Ejemplo

Calcular el efectivo que se obtiene descontando un pagaré de nominal 70.000 €, a un plazo de 10 meses, aplicando descuento simple racional con un tanto del 12% anual.

Si trabajamos con el 12% anual debemos expresar n en años. Así, n=10/12 años.

Co = Cn / (1+i·n) = 70.000 / (1+0,12·(10/12)) = 63.636,36 €

Otra forma de calcular el efectivo es trabajar con los 10 meses y adaptar el tanto. Recordemos que en simple (tanto en descuento simple como en capitalización simple) los tantos equivalentes son proporcionales. Por tanto un 12% anual equivale a un 1% mensual.

Co = Cn / (1+i·n) = 70.000 / (1+(0,12/12)·10) = 70.000 / (1+0,01·10) = 63.636,36 €


Gráfico

Al realizar un gráfico de la ley de descuento simple racional observamos que la curva que se obtiene no es una línea recta. Es una curvo decreciente y asintótica al eje horizontal.

La asíntota tienede a cero pero el efectivo que se obtienen con la ley de descuento simple racional nunca será negativo, cosa que si sucede con el descuento simple comercial.

En horizontal (eje de abscisas) se representa la duración de la operación financiera (n).
En vertical (eje de ordenadas) se representa el efectivo obtenido con la operación de descuento (Co).

Audio

Descuento simple comercial

Se denomina descuento simple comercial, o tan solo descuento comercial. También se le conoce como descuento bancario, por ser el habitual en la práctica bancaria. Es el tipo de descuento más utilizado en la práctica financiera para operaciones de corto plazo.

Característica distintiva

Se caracteriza porque el descuento aplicado D es proporcional al nominal (Cn) y a la duración de la operación financiera (n). A esa constante de proporcionalidad la denominamos d, que es el tanto de descuento aplicable en este tipo de operaciones.

D=Cn·n·d

de la expresión anterior podemos despejar d

d = D/(Cn·n)

Ejemplo 1

Para un nominal de 1.000 euros y una duración de 1 año, si el descuento aplicado en euros D es de 100 €, entonces es que la constante de proporcionalidad d, o tanto de descuento es del 10%. Comprobemoslo:

D=100
Cn=1000
n=1
d=?

Calculando d obtenemos:

d = D/(Cn·n) = 100/(1000·1) = 0,1 = 10% anual

Ejemplo 2

Calcular el tanto de descuento d sabiendo que se trata de una operación de descuento de un pagaré similar al del caso anterior pero donde la duración de la operación es de medio año, y el descuento practicado ha sido de 50 €, siendo el nominal también de 1.000 €.

En este caso,

d = D/(Cn·n) = 50/(1000·0,5) = 0,1 = 10% anual

De esta forma, vemos que al tratarse de la mitad del tiempo y la mitad del descuento en euros, el tanto de descuento sigue siendo del 10%.


Deducción de la ley

Hemos dicho que la característica distintiva del descuento simple comercial es la proporcionalidad expresada por la siguiente fórmula:


D=Cn·n·d


También sabemos que el descuento D se obtiene como diferencia entre el nominal y el efectivo:

D=Cn-Co

Considerando ambas fórmulas y despejando el efectivo obtenemos lo siguiente:

Co = Cn-D = Cn - Cn·n·d = Cn(1-d·n)

Por tanto, la ley de descuento simple comercial es:

Ley de descuento simple Comercial
Co =  Cn (1-d·n)

Como en toda ley financiera es muy importante que la unidad temporal que se emplea en el tanto y en el tiempo sean la misma, y si no lo son hemos de transformarlas adecuadamente para que así sea.

• Si el tiempo viene expresado en años, el tanto debe ser anual
• Si el tiempo viene expresado en meses, el tanto debe ser mensual
• Y en general, siempre han de tener la misma unidad temporal el tanto y el tiempo

Ejemplo 3

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar una letra de cambio de nominal 100.000 € que vence dentro de 9 meses, y sobre la que se aplica un tanto de descuento del 10% anual. Calcular también el descuento practicado aplicando la ley de descuento simple comercial.

Para calcular el efectivo podemos aplicar la ley del descuento simple comercial.

Co =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,1·(9/12)) = 100.000(1-0,10·0,75)  =  100.000(1-0,075) = 100.000·0,925 =92.500 €

Observar que si empleamos d como tanto anual del 10%, entonces debemos adaptar el tiempo n para que venga expresado en años. Por eso, hemos tenido que tomar n como 9/12, que son los años que hay en 9 meses.

n = 9/12 = 0,75

Dicho de otra forma, 9 meses equivalen a 0,75 años.

Veamos qué descuento ha sido aplicado:

D = Cn-Co = 100.000 - 92.500 = 7.500 €

Otra forma de obtener D:

D=Cn·n·d = 100.000·(9/12)·0,1 = 7.500 €


Ejemplo 4

Calcular el efectivo que se obtiene en una operación de descuento simple comercial en la que el nominal es de 100.000 €, y se aplica un tanto de descuento del 8% semestral, durante 3 trimestres.

En este caso el tanto de descuento d es semestral y el tiempo viene dado en trimestres. Debemos homogeneizar las unidades temporales de d y n.

Podemos hacerlo de varias formas.

Método 1
Trabajando en trimestres. Hemos de adaptar el tanto. Lo que tenemos que hacer es calcular el equivalente trimestral de un 8% semestral.
En este caso:

• n=3 trimestres
• d=8%/2=4% trimestral
• Co =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,04·3) = 88.000 €

Método 2
Trabajando en semestres. Hemos de adaptar el tiempo. Lo que tenemos que hacer es calcular cuantos semestres hay en 3 trimestres.
En este caso:

• n=3/2=1,5 semestres
• d=8% semestral
• Co  =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,08·1,5) = 88.000 €

Método 3
Trabajando en años. Debemos adaptar el tanto y convertirle en un tanto de descuento anual, y también debemos adaptar el tiempo n calculándolo en años.
En este caso:

• n=3/4=0,75 años
• d=8%·2 = 16% anual
• Co  =  Cn(1-dn) = 100.000(1-0,16·0,75) = 88.000 €

Estas adaptaciones son sencillas ya que existe proporcionalidad. Lo importante es que la unidad temporal del tiempo y del tanto sea coincidente, ya que en caso contrario cometeremos un error y el resultado no será correcto.

Tantos de descuento equivalentes

El tanto de descuento simple comercial d se puede adaptar a otra unidad temporal de forma sencilla ya que existe proporcionalidad entre los tantos. Le sucede igual que al tanto de capitalización simple que también es proporcional.

Así, un tanto d del 12% anual equivale a un 1% mensual. También equivale a un 6% semestral y a un 3% trimestral. Lo que hemos de hacer para calcularlo es dividir entre m que es la frecuencia. Es el número de subperiodos que hay en el periodo. El periodo es el año, y el subperiodo puede ser:

• m=1. El periodo y el subperiodo coinciden. No hay fraccionamiento.
• m=2. El subperiodo es el semestre
• m=3. El subperiodo es el cuatrimestre
• m=4. El subperiodo es el trimestre
• m=6. El subperiodo es el bimestre
• m=12. El subperiodo es el mes
• m=52. El subperiodo es la semana
• m=360. El subperiodo es el día, trabajando con año comercial
• m=365. El subperiodo es el día, trabajando con año civil

De esta forma estaremos adaptando el tanto de descuento, aunque también podemos adaptar la unidad temporal.

Adaptar la unidad temporal

Si d viene expresado en un tanto anual y estamos trabajando con una unidad temporal distinta del año, podemos adaptar la unidad temporal n para que venga expresada en años.

Si d es un tanto anual, entonces n debe venir expresada en años.

Co = Cn (1-d·n) = Cn (1-d·(t/m))

como vemos estamos haciendo n=t/m. Esta es la adaptación necesaria para trabajar en años.

Ejemplo 5 

Calcular el efectivo obtenido en una operación de descuento comercial en la que el nominal es de 1.000 €, la duración es de 6 meses, y el tanto de descuento aplicable es del 8% anual.

En este caso, la frecuencia m es 12. Para expresar el tiempo en años n=t/m

n = meses/12 = 6/12 = 0,5 años

Calculemos el efectivo.

Co = Cn (1-d·(t/m)) = Cn(1-d·(meses/12) = 1.000(1-0,08·(6/12)) = 1.000(1-0,08·0,5) =

= 1.000(1-0,04) = 1.000·0,96 = 960 €

Al ver el producto de 0,08 por 0,5 ya vemos todo expresado en años. El tanto es 8% anual y la duración es de medio año.

Trabajando en días

Es muy frecuente trabajar el días en estas operaciones de corto plazo. Los plazos típicos son:

• 30
• 60
• 90
• 120
• 150
• 180
• 270
• 360

Al trabajar en días existen dos métodos. Uno supone trabajar con año comercial y el otro con año civil.


Trabajando en días la ley del descuento simple comercial resulta ser así:

Co = Cn (1-d·(días/m))


El parámetro m es la frecuencia, que es el denominador entre el que dividimos el número de días.

El año comercial supone que el año tiene 360 días. Se trata de intentar hacer que todos los meses tengan el mismo número de días. Si todos tienen 30 días, al tratarse de 12 meses en un año, se obtiene 12·30=360 días. Así, pues el año comercial trabaja suponiendo que el año tuviera 360 días. En este caso m=360.

El año civil supone que el año tiene 365 días. En este caso, la frecuencia es m=365.

Al trabajar con uno u otro sistema lo que cambia es la base.

Año comercial

• Trabajamos con m=360 días

Año civil

• Trabajamos con m=365 días

Ejemplo 6

Calcular el efectivo obtenido y el descuento practicado en una operación de descuento comercial con los siguientes datos, supuesto que se aplique año comercial o año civil. El nominal es de 100.000 €, el plazo es de 90 días, y el tanto de descuento es del 12% anual.

Veamos el caso del año comercial.

Co=Cn(1-dn) = Cn(1-d(días/360)) = 100.000(1-0,12·(90/360)) = 97.000 €

El descuento practicado es:

D = Cn·d·n = 100.000·0,12·(90/360) = 3.000 €

Veamos el caso del año civil.


Co=Cn(1-dn) = Cn(1-d(días/365)) = 100.000(1-0,12·(90/365)) = 97.041,10 €

El descuento practicado es:

D = Cn·d·n = 100.000·0,12·(90/365) =  2.958,90 €

Observar que el descuento más duro (el descuento mayor) es el del año comercial.

Por cierto, se me olvidaba comentar que en la práctica bancaria el más utilizado es el año comercial. ¿Se imagina el motivo?

Inconvenientes del descuento simple comercial

La ley de descuento simple comercial no es muy coherente ya que no cumple las propiedades mínimas que podríamos exigir a una buena ley. Veremos dos inconvenientes o problemas que tiene esta ley.

Primer inconveniente

La ley de descuento simple comercial puede dar lugar a efectivos negativos si el plazo (n) es suficientemente grande.

El descuento simple comercial únicamente es viable en el corto plazo, ya que a largo puede dar lugar a efectivos tan bajos que incluso pueden llegar a ser negativos. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 7

Calcular el efectivo que se obtiene al descontar un nominal de 70.000 € que vence a 11 años, al aplicar un tanto de descuento del 10% anual.

El efectivo obtenido será:

Co = 70.000·(1-0,10·11) = 70.000·(1-1,1) = 70.000·(-0,10) = -7.000 €

Hemos obtenido un efectivo negativo, lo cual no tiene ninguna lógica. Supondría que al ir al banco con un pagaré o una letra de nominal 70.000 € para que el banco nos adelante el capital necesario para continuar con nuestro negocio, y al preguntar al banco cuánto dinero nos podrá proporcional, la repuesta sería sorprendente. El banco diría: «no solo no le tengo que dar dinero sino que es usted el que me ha de dar 7.000 euros».

Segundo inconveniente

La ley de descuento simple comercial es incoherente en cuanto a que si partimos de un capital inicial (Co) se capitaliza a interés simple y luego se descuenta con la ley de descuento simple comercial no se llega al capital de partida (Co).

Ejemplo 8

Partimos de un capital inicial (Co) de 100.000 €. Primero lo capitalizamos a interés simple del 8% durante dos años. Así, llegaremos a un capital final (Cn) que volveremos a descontar durante el mismo plazo y al mismo tanto. Calcular el efectivo al que se llega y verificar que no coincide con el capital inicial de partida.

Primero capitalizamos aplicando la ley de capitalización simple.

Cn = Co (1+in) = 100.000 (1+0,08*2) = 116.000 €

Ahora descontamos el montante obtenido aplicando la ley de descuento simple comercial.

C'o = Cn (1-dn) = 116.000 (1-0,08*2) = 97.440 €

Observamos que llegamos a una cifra diferente de los 100.000 € de partida que sería lo lógico para una ley financiera que fuera mínimamente coherente.

Estos inconvenientes del descuento simple comercial se intentarán paliar con el descuento simple racional o matemático, que al menos no participará de estos errores.


Gráfico

El gráfico de esta ley financiera es el de una línea recta al representar efectivo obtenido (Co) frente a plazo de la operación (n).

Con los datos del ejemplo anterior se observa que a los 10 años el efectivo obtenido (Co) es cero, y que para 11 años ya nos encontramos en la zona negativa.


Problemas resueltos

Puede consultar los siguientes problemas resueltos.

1. Diferencia descuentos
2. Diferencia de Efectivos al descontar con distinta base
3. Descontar dos letras de cambio
4. Transformar dos letras de cambio en otra
5. Descontar una letra ahora o dentro de unos meses

Operaciones de Descuento

Una operación de descuento es aquella en la que obtenemos el capital inicial Co en función del capital final Cn. El ejemplo típico es el del descuento de una letra de cambio, o cualquier otro efecto de comercio (pagarés, o simplemente una factura).

Veamos algunas páginas que nos aclaren que es una letra de cambio y un pagaré:

• La Letra de Cambio: concepto e introducción
  
• Wikipedia: Letra de cambio
• Wikipedia: pagaré

Imaginemos una empresa que vende a un cliente cierto bien o proporciona un servicio por el que factura 40.000 €. En la práctica habitual de ese mercado no es frecuente el pago al contado, sino que habitualmente se paga a los 120 días de haber emitido la factura. Supongamos que éste es el caso, y que la empresa suministradora necesita liquidez. Nuestra empresa es rentable pero aún así necesita hacer frente a sus pagos (nomina, materiales, impuestos,…) por lo que necesita recursos financieros. Salvo que disponga de recursos propios abundantes, o un préstamo que cubra sus necesidades financieras, la empresa necesitará urgentemente hacer líquido el importe de la factura. Para ello acude al banco a negociar el adelanto de dicho importe. El banco adelanta el importe con un importante descuento, ya que ésta forma de financiarse habitualmente resulta bastante onerosa. Esta operación bancaria se conoce como operación de descuento.

En una operación de descuento se descuenta un importe nominal (N) que vence dentro de n periodos. Hoy, instante t=0, obtenemos un efectivo (E), habiéndonos practicado el banco un descuento de importe D.

Por tanto, el descuento (D) es la diferencia entre el nominal (N) y el efectivo percibido (E).

D=N-E

El nominal N está haciendo el papel de capital final de la operación financiera, por lo que se identifica con Cn.

El efectivo E está haciendo el papel de capital inicial de la operación financiera, por lo que se identifica con Co.

El descuento D equivale a los intereses que percibe el banco por la prestación de su servicio financiero. El banco adelanta el cobro del capital a su cliente, y ha de esperar hasta el vencimiento del derecho de cobro para percibir el nominal. El descuento D que percibe el banco no se materializan hasta que no llega el vencimiento, y se procede al cobro del nominal que ha de pagar la empresa a la que se proporcionó el bien o servicio. En caso de impago, el banco no se hace cargo del quebranto, ya que el banco únicamente adelanta el nominal pero no asume el riesgo de impago, salvo que se pacte otro tipo de contrato, pero en ese caso ya no se trataría de una letra de cambio, o pagaré puros.

En nuestro ejemplo:

• El nominal es N=40.000
• El efectivo es E=38.800
• El descuento es D=1.200

La operación de descuento se realiza en base a cierta ley financiera de descuento. Existen varias leyes que se pueden aplicar:

1. Descuento simple comercial
2. Descuento simple racional
3. Descuento compuesto a tanto de interés i
4. Descuento compuesto a tanto de descuento d

De las cuatro leyes la que se utiliza en la práctica totalidad de los casos es el descuento simple comercial, aplicada en el corto plazo para operaciones de descuento de efectos de comercio.

Tanto efectivo y tanto nominal

Tantos equivalentes

Dos tantos son equivalentes cuando aplicados al mismo capital (Co), durante el mismo tiempo (n) producen los mismos intereses o se llega al mismo montante (Cn).

Simplificando el tema podemos tomar como capital inicial 1 euro, y como periodo un año. Así, diremos que dos tantos son equivalentes si aplicados durante un euro y durante un año llegan al mismo montante.

Tantos equivalentes en capitalización compuesta

En capitalización compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial. Esta afirmación es la que vamos a demostrar seguidamente. La demostración se hará acudiendo a conceptos financieros y es interesante entenderla, y no solo aprendernos la fórmula resultante.

Vamos a capitalizar un capital inicial de 1 euro, durante 1 año de dos formas distintas

Método 1

Capitalizando el euro durante un año de una sola vez aplicando el tanto anual i.
El montante al que llegamos será: (1+i)

Método 2

Dividimos el año en m subperiodos. Por ejemplo, si fueran meses, entonces m sería 12.
Partimos de un capital inicial de 1 euro que vamos a ir capitalizando reiteradamente en capitalización compuesta, durante los m subperiodos. Cada subperiodo se capitaliza al tanto im que es el tanto relativo a ese subperiodo. Si los subperiodos fueran meses entonces im sería i12.

Veamos cómo evoluciona el capital a lo largo de los m subperiodos.

• Partimos en t=0 de un capital Co=1 €
• En t=1 subperiodo hemos llegado a un capital (1+im)
• En t=2 subperiodos hemos llegado a un capital (1+im)^2
• En t=3 subperiodos hemos llegado a un capital (1+im)^3
• .... / ...
• En t=12 subperiodos hemos llegado a un capital (1+im)^12

Recapitulemos:

• Montante alcanzado por el método 1: (1+i)
• Montante alcanzado por el método 2: (1+im)^m

Recordemos el concepto de tantos equivalentes:
Para que i e im sean tantos equivalentes han de llegar al mismo montante se se aplican ambos a un euro, durante un año.

Por tanto para que i e im sean tantos equivalentes se ha de cumplir que:

(1+i)=(1+im)^m

Expresión que vamos a escribir elegantemente con el editor de ecuaciones:

Ahora vamos a despejar i en función de im, e im en función de i.

Tanto Efectivo

AMBOS TANTOS: i e im son tantos EFECTIVOS. Uno es el efectivo anual (i) y el otro es el efectivo del subperiodo (im). En definitiva, podemos decir que existen dos tantos efectivos: i e im. Los tantos efectivos siempre son equivalentes entre si.

Ejemplo

Nos dan los siguientes datos:

• Periodo: año
• Subperiodo: mes. Por tanto sabemos que m=12
• Nos dicen que i12=1% efectivo mensual

Nos piden calcular i que es el tanto efectivo anual equivalente al 1% efectivo mensual.

Solución

i=(1+i12)^12-1=(1+0,01)^12-1=1,01^12-1=0,1268...=12,68% efectivo anual


Tanto nominal

El tanto nominal no se deduce lógicamente, simplemente se define como veremos seguidamente.

El tanto nominal se denomina jm y se define como m veces im.

La frase anterior se puede expresar mediante la siguiente fórmula.

¿Por qué existe el tanto nominal si no se deduce lógicamente de nada?

Existe porque se utiliza en la práctica financiera. La banca lo utiliza, y muchas operaciones financieras lo manejan, por ello nosotros debemos conocerlo bien.

Lo cierto es que la relación entre jm e im es una relación de proporcionalidad (lineal) que nos recuerda enormemente a los tantos equivalentes en capitalización simple. Recordar que en simple los tantos se relacionan de forma proporcional.

Otro tema a tener presente es que el tanto nominal jm es una aproximación lineal al tanto efectivo i. En la época en la que no se disponía con facilidad de ordenadores, e incluso en la época en la que no había calculadoras, hacer la operación 1,01^12 de forma manual no era sencillo. Aunque es cierto que existían tablas financieras.

Sea como fuere actualmente, en la época de los ordenadores se sigue utilizando el concepto de tanto nominal, aunque realmente no aporta nada a la construcción de una teoría matemática de las finanzas coherente. Con el tanto efectivo hubiera bastado.

Ejemplo

Veamos un ejemplo para intentar comprender porqué se sigue utilizando el tanto nominal y su efecto psicológico en el ciudadano medio que no tiene grandes conocimientos financieros.

Supongamos que un banco anuncia en un cartel o valla publicitaria una cuenta de alta remuneración. Exageremos un poco el tipo de interés, y supongamos que la cuenta proporciona una rentabilidad del 1% mensual en capitalización compuesta, con recálculo mensual de intereses.

En este caso, el periodo es el año, el subperiodo el mes, m es 12. Sabemos que i12 es el 1% efectivo mensual. Veamos quien es el tanto efectivo anual (i):

i = (1+im)^m-1 = (1+0,01)^12-1 = 1,01^12-1 = 12,68% efectivo anual.

Veamos quien es el tanto nominal (j12):

j12=12*î12 = 12*0,01 = 0,12 = 12% nominal anual.

El cartel puede ser uno de los dos siguientes, ¿cuál cree usted que será el cartel que elija el banco para publicitar esta cuenta de alta remuneración?

Ambos carteles proporcionan correctamente la información, pero psicológicamente es más llamativo ver una remuneración del 12,68% que otra del 12%, siendo en realidad ambas iguales ya que en un caso se trata de un 12,68% TAE (Tasa Anual Equivalente) que es nuestro tanto efectivo anual, y en el otro caso se trata de un 12% TIN (Tipo de Interés Nominal), que es nuestro tanto nominal anual, j12.

Supongamos ahora que lo que tratamos de publicitar es un préstamo hipotecario, e imaginemos que los tipos de interés son también del 1% mensual, con capitalización mensual. Esto es, los tipos son los mismos que los del ejemplo anterior pero en este caso lo que hacemos es ofertar una operación de préstamo.

¿Cuál de los dos carteles siguientes piensa usted que elegirá el bando para publicitar el préstamo?

Ambos carteles son correctos y anuncian el mismo tipo de interés, pero tratándose de un préstamo psicologicamente es más atrayente el 12% que el 12,68%.

Un caso real

Existe un banco por internet llamado iBanesto que actualmente tiene esta publicidad en su web.

Abajo de esa página de publicidad pone en letra más pequeña:

(*) TAE 3,40% TIN anual de 3,35%

Vamos a comprobar si los cálculos son correctos.

Tenemos que comprobar si es cierto o no que un tanto efectivo anual i=3,40% es lo mismo que un tanto j12=3,35% efectivo anual.

Partimos del j12 y calculamos i12

i12 = j12/12 = 3,35%/12 = 0,279166666666667% efectivo mensual

Ahora calculamos el tanto efectivo anual:

i = (1+i12)^12-1 = (1+0,00279166666666667)^12-1 = 3,401918%

que redondeando es igual a 3,40% efectivo anual, por lo que podemos decir que el cálculo es correcto.

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Puede ver los siguientes vídeos para aprender a calcular los tantos efectivos del periodo y del subperiodo y el tanto nominal

Audio

Tantos equivalentes a interés simple

Concepto de tantos equivalentes

Dos tantos se dice que son equivalentes cuando aplicados a la misma cuantía (Co), durante el mismo tiempo (n), producen los mismos resultados (Cn).

En capitalización simple los tantos equivalentes se relacionan de forma lineal (proporcional).

Por ejemplo, un 1% mensual equivale a un 12% anual en capitalización simple.

Tomamos un periodo y lo subdividimos en m subperiodos. El periodo es el año y los subperiodos pueden ser:

• semestres, entonces m=2, ya que hay 2 semestres en un año
• trimestres, enconces m=4, ya que hay 4 trimestres en un año
• cuatrimestres, entonces m=3, ya que hay 3 cuatrimestres en un año
• meses, entonces m=12, ya que hay 12 meses en un año

m es la frecuencia y se define como el número de subperiodos que hay en el periodo.

i es el tanto anual

i_m es el tanto del subperiodo

• i₂ es el tanto semestral
• i₄ es el tanto trimestral
• i₃ es el tanto cuatrimestral
• i₁₂ es el tanto mensual

En capitalización simple los tantos se relacionan de forma proporcional, siendo la fórmula que los relaciona es la siguiente.

i=m*i_m

o si escribimos con el editor de ecuaciones quedará así:

Comprobemos el ejemplo que pusimos anteriormente. Un 1% mensual equivale a un 12% anual en simple.

Veamos las variables y conceptos.

Periodo:	año
Subperiodo:	mes
m=	12
im=	1% mensual
i=	12*1%=12% anual

Ejercicio

¿Qué tanto mensual en capitalización simple equivales a un 6% anual?

Solución

Despejando de la fórmula anterior im obtenemos:

Sabemos que m es 12 ya que el periodo es el año y el subperiodo es el mes. Nos dan como dato i=6% anual, y nos piden i12. Por tanto,

i12 = i/12 = 6%/12 = 0,5% mensual.

Luego, un 6% anual equivale a un 0,5% mensual en capitalización simple.

Periodo:	año
Subperiodo:	mes
m=	12
i=	6% anual
i12=	6%/12=05% mensual

Conceptos financieros

Las finanzas requieren cierto rigor conceptual por lo que hemos de definir bien los conceptos iniciales que manejaremos. En este apartado vamos a definir los primeros conceptos necesarios para ir construyendo nuestra disciplina.

• Capital financiero
• Operación financiera
• Operación financiera simple
• Operación financiera compuesta
• Ley financiera
• Capitalización
• Descuento
• Intereses

Capital financiero

Denominamos capital financiero al par de variables C (cuantía) y t (vencimiento) que se representa como la variable bidimensional (C,t).

• C representa la cuantía y viene expresada en unidades monetarias (euros, dólares, …)
• t representa el tiempo: el momento de disponibilidad de la cuantía, o vencimiento. Se expresa en unidades temporales (años, semestres, trimestres, meses, días), y se ha de establecer el origen de tiempos de la escala temporal empleada

Si nos hablan de un capital de mil euros, queda incompleta la información proporcionada, ya que es necesario hablar del momento en que será disponible. No es lo mismo recibir cierta cuantía hoy, o dentro de un año, o dentro de 10 años. Esos mil euros dentro de 10 años no tendrán el mismo poder adquisitivo debido a la inflación. Aunque la inflación fuera nula durante ese periodo, siempre sería deseable disponer del dinero cuanto antes mejor.

El capital financiero (C,t)=(1000;10) donde la cuantía viene expresada en euros y el vencimiento en años, representa un capital de 1.000 euros que será disponible dentro de 10 años. Implícitamente se está suponiendo que el momento actual (hoy) es el instante t=0, que es el origen de tiempos de nuestra particular escala temporal. Es muy habitual hacer coincidir el instante t=0 con el momento actual.

Comparación de Capitales Financieros

Vamos a comprar capitales financieros buscando los que son financieramente equivalentes.




Operación financiera

Una operación financiera consiste en el intercambio de capitales financieros que vencen en distinto momento del tiempo.

La nota característica para que podamos hablar de que existe una operación financiera no es únicamente que estemos ante una operación en la que se intercambian cuantías monetarias o cualquier otro tipo de activo. Es muy importante que transcurra un tiempo entre una entrega y la otra. Por ejemplo, si compramos un coche al contado no se produce una operación financiera, pero si lo pagamos mediante pago aplazado estaremos ante una operación financiera.

Operación financiera simple

El caso más sencillo es el de una Operación Financiera Simple en el que únicamente se intercambian dos capitales financieros. El capital inicial (C,t) se intercambia por el capital final (C',t'). El segundo capital vence en un momento posterior del tiempo (t'>t), lo que supone que la segunda cuantía sea mayor que la primera (C'>C).

El incremento de cuantía al transcurrir el tiempo se produce por la generación de intereses.
Es frecuente denotar el capital inicial como Co con vencimiento en t=0 y el capital final como Cn con vencimiento en t=n. Es habitual establecer el momento inicial en t=0, ya que de esta forma determinar la duración de una operación financiera que vence en t=n, es muy fácil, ya que es de n periodos.

En ocasiones representamos los capitales financieros dando altura a las cuantías. De esta forma Cn>Co.

En una operación financiera simple el único capital componente de la prestación es Co y el único capital componente de la contraprestación es Cn. La equivalencia financiera entre prestación y contraprestación se establece entre Co y Cn en base a una ley financiera.

Ejemplo

Pensemos en un préstamo de 1.000 euros hoy (instante t=0) y su devolución por importe de 1.100 euros dentro de un año (instante t=1). El prestamista obtiene con esta operación unos intereses de 100 euros, lo que en porcentaje supone un tipo de interés del 10% anual.

Operación financiera compuesta

En caso de que intervengan varios capitales financieros formando parte de la prestación y/o la contraprestación hablamos de una operación financiera compuesta. Las cuantías que entrega el prestamista constituyen la prestación, y los capitales que entrega el prestatario constituyen la contraprestación. Sabemos quién es el prestamista porque es quien entrega el primer capital, y a la otra parte se denomina prestatario. Aunque luego cambie el signo de la operación financiera, quien comenzó siendo prestamista se sigue denominando como tal. Siempre se ha de cumplir que en toda operación financiera existe un equilibrio entre lo entregado por el prestamista y por el prestatario. O dicho en otros términos, existe una equivalencia financiera entre los capitales componentes de la prestación y los de la contraprestación.

En el tema de rentas y en el de préstamos desarrollaremos estas operaciones. Un ejemplo típico es un préstamo donde la prestación es única, que es la cantidad que entrega el banco, y la contraprestación múltiple, formada por las mensualidades que abona el cliente para ir devolviendo el préstamo.


Ley financiera

En toda operación financiera existe una ley financiera que permite que la Prestación se iguale a la Contraprestación valorando todos los capitales en el mismo instante del tiempo.
En el caso de una operación financiera simple al estar compuesta únicamente por dos capitales podemos expresar la relación existente entre el capital inicial y final mediante la siguiente expresión funcional

En este caso Co y Cn son financieramente equivalentes en base a la ley financiera f.

Es una función que nos permite pasar del capital inicial Co al capital final Cn y viceversa. La ley financiera transforma un capital en otro equivalente financieramente y disponible en otro momento del tiempo.

Capitalización

La expresión que nos permite calcular el capital final en función del capital inicial y del tiempo transcurrido en la operación financiera es la ley de capitalización. Cn=f(Co,n).

Capitalizar es la operación financiera que nos permite buscar el equivalente financiero de un capital en un momento futuro del tiempo.

Descuento

La expresión que nos permite calcular el capital inicial en función del capital final y del tiempo transcurrido en la operación financiera es la ley de descuento. Co=f(Cn,n).

Descontar es la operación financiera que nos permite buscar el equivalente financiero de un capital en un momento anterior del tiempo.

En este gráfico expresamos con unas flechas la dirección en la que nos movemos al capitalizar o al descontar. Capitalizar es ir hacia el futuro, descontar es ir hacia el pasado.

Intereses

En toda operación financiera de capitalización se trata de llegar a obtener el montante final o capital final partiendo de un capital inicial en base a cierta ley financiera.

• Capital inicial (Co). Ejemplo: Co=1.000 €
• Capital final (Cn) o montante constituido. Ejemplo: Cn=1.200 €
• Duración de la operación (n). Se ha de indicar en qué unidad temporal viene expresado (años, semestres, meses,…). Ejemplo: n=2 "años"
• Cantidad de Interés de la operación (I_0,n=Cn-Co) expresados en euros, o la unidad monetaria con la que se trabaje. Son los intereses de la operación financiera total, la que dura desde 0 hasta n. Ejemplo: I_0,2=1200-1000=200 €
• Rédito: Intereses por unidad monetaria. El rédito de capitalización surge al dividir los intereses entre el capital inicial de la operación financiera. Ejemplo: I_0,2/Co =200/1000=0,20=20%
• Tanto (i): Si además se expresa por unidad de tiempo surge el denominado tanto de capitalización o tipo de interés del periodo. Para calcularlo debemos dividir el rédito entre el número de periodos. Ejemplo: i=I_0,2/(Co∙n)=200/(1000∙2)=0,10=10% "anual" . Es el tipo de interés de la operación financiera