Veamos un ejemplo a largo plazo y marquemos que diferencia existe entra uno y otro sistema de
capitalización.
EJEMPLO
Un lejano antepasado tuyo te deja en herencia un euro (o su equivalente en oro) en el año t=0 (año cero de nuestra era). Estamos en el año 2010, han trascurrido 2010 años.
Suponiendo un tipo constante del 10% anual. Calcula el montante que obtendrías ahora según que su hubiera pactado capitalización simple o compuesta.
En Capitalización Simple
Cn=1*(1+0,1*2010)=202 euros.
En Capitalización Compuesta
Cn=1*(1+0,1)^2010= 1.58233039 × 10^83
Este cálculo lo he realizado usando Google. Puedes ir a la página principal de Google y
escribir en el buscador: 1.1^2010
Utiliza notación científica equivale a mover la coma 83 lugares a la derecha y cuando se
acaban los decimales rellenar con ceros. La cifra sería la siguiente:
Piensa que el número de átomos del universo se estima en muchísimo menos (incluso suponiendo que existe una gran cantidad de materia oscura por descubrir).
Por el contrario con el montante de la capitalización simple la herencia te da para invitar a unos amigos a una cena. Pero que sean pocos amigos porque sino no llega.
¿Cuál de los dos métodos de cálculo es el correcto?. La respuesta es sorprendente. El correcto es el de capitalización compuesta, ya que la capitalización simple presupone la entrega de los interese cada año, y estos no se reinvirtirían. Si se reinvirtieran se obtendría el mismo montante que el calculado en compuesta. La cifra del montante alcanzado en compuesta es sumamente alarmante, y parece increíble. La explicación es
que nos estamos moviendo en una EXPONENCIAL y que los intereses se acumulan para producir nuevos intereses. Lo que hace que la cifra sea tan grande es el exponente de la función, 2010. En la realidad no existen fenómenos financieros que duren tantos años, y por eso en la práctica esas cifras no se alcanzan. Pero si quieres hacer feliz a un lejano descendiente tuyo de dentro de otros 2010 años, puedes dejarle un euro a interés compuesto.
Dos tantos se dice que son equivalentes cuando aplicados a la misma cuantía (Co), durante el mismo tiempo (n), producen los mismos resultados (Cn).
En capitalización compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial. Esto es debido a que en compuesta los intereses se capitalizan y se hacen productivos, produciendo a su vez nuevos intereses.
Definimos el periodo, normalmente el año.
Definimos el subperiodo, que es la parte en la que dividimos el periodo. Pueden ser meses, o semestes, etc.
Calculamos la frecuencia m, que es el número de subperiodos que hay en el periodo. Así, por ejemplo, si el periodo es el año y el subperiodo el mes, entonces m=12, ya que hay 12 meses en un año.
Aplicamos el concepto de tantos equivalentes en capitalización compuesta, durante 1 años y partiendo de un capital incial de 1 euro.
Capitalizando todo el año de golpe ('del tiron') a un tanto i, el montante al que se llega es (1+i).
Capitalizando un subperiodo usando el tanto relativo al subperiodo que es im, se llega a un montante de (1+im). Capitalizando un nuevo subperiodo, y aplicando capitalización compuesta, llegamos a (1+im)^2. Al final del tercer subperiodo, habremos llegado a (1+im)^3. Y al final del año, que es el final del subperiodo m, habremos llegado a un montante que es (1+im)^m.
Por el concepto de tantos equivalentes, igualamos los montantes alcanzados por ambos métodos, ya que si queremos que sean tantos equivalentes han de tener que llegar al mismo montante. (1+i)=(1+im)^m
De la fórmula anterior podemos despejar i en función de im, y también podemos despejar im en función de i, que son las dos expresiones que conviene recordar para trabajar con tantos equivalentes: i=(1+im)^m-1 y la otra: im=(1+i)^(1/m)-1.
Hasta ahora no ha aparecido el concepto de tanto nominal, y realmente podría no hacerlo y las matemáticas financieras conceptualmente no se resentirían lo más mínimo. Pero, sucede que en la realidad financiera la banca utiliza este concepto y nosotros debemos conocer su significado y debemos aprender a manejarlo.
El tanto nominal se denota por jm y se define como m veces im. Fórmula: jm=m*im. Si te das cuenta es hacer lineal lo que no lo es. Me explico. En capitalización compuesta hemos dicho que los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial, y resulta que ahora introducen un concepto que lo que hace es trabajar de forma proporcional (de forma lineanl). Por ejemplo, si m=12, i12=1% mensual, enconces j12=1*1%=12% nominal anual. Lo cual lo que está haciendo es confundir a la gente, que pueden llegar a pensar que un 1% mensual es equivalente a un 12% anual. Cosa que en capitalización simple es cierto, pero en compuesta NO. En capitalización compuesta el equivalente a un 1% mensual es: i=(1+im)^m-1 = (1+0,01)^12-1 = 12,68..% efectivo anual. Como se ve, el efectivo es mayor que el nominal.
Al aplicar la ley de capitalización COMPUESTA Cn=Co(1+i)^nsiempre debemos utilizar tantos efectivos. Nunca uses dentro de esa fórmula un tanto nominal, porque lo que obtendrá no será correcto. Ejemplo: Co=100, n= 18 meses, i12=1% mensual. Podemos calcular Cn así: Cn=100(1+0,01)^18, o bien podemos calcular el tanto anual equivalente: i=12,68% y luego trabajar con el exponente en años: Cn=100(1+0,1268..)^1,5 (ya que 18 meses es 1,5 años). Pero jamas digas que: Cn = (1+0,12)^1,5 porque en ese caso estará mal ya que has tomado el tanto nominal j12=12% nominal anual.
Por tanto, podríamos vivir mucho mejor si no existiera el concepto de tanto nominal, pero como la banca lo usa, nosotros debemos entenderlo.
En los años 80, cuando comenzaron a establecerse las leyes en defensa de los consumidores, el Banco de España introdujo, mediante circular, el concepto de TAE (Tanto Anual Equivalente). Este concepto coincide básicamente con el concepto de tanto efectivo anual (i), y además coincide con el concepto de TIR, que en realidad también es un tanto efectivo anual. El Banco de España obliga a incluir dato de la TAE en toda información financiera se se emita. Por ejemplo, al financiar un coche, o al anunciar una cuenta bancaria o un depósito financiero.
Tienen una cuenta que llaman cuenta Azul, pincha en el enlace y verás que te explican que da un 3,10% TAE. Observa el asterisco y el texto que viene debajo. Pone lo siguiente:
"(*)TAE 3,10% calculada para cualquier importe a partir de 1 céntimo de €, tipo nominal anual de 3,06%"
Comprueba que es verdad, y verás que efectivamente sale una TAE del 3,06% redondeando a dos decimales.
Los conceptos de tanto efectivo y tanto nominal son propios de la ley de capitalización compuesta.
En compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial (no lineal como sucede en simple). La demostración está en el Libro, y se basa en lo siguiente:
Vamos a capitalizar 1 € durante un año de dos forma.
De un tirón durante un año al tanto i anual. El montante alcanzado es (1+i).
Fraccionando el año en subperiodos. Vamos a fraccionar el año en m partes iguales. Por ejemplo, si fraccionamos en meses entonces m=12. Partimos de 1 € y calitalizamos un subperiodo. El montante alcanzado será (1+im), ya que el tanto aplicable es el del subperiodo (im). Capitalizando un segundo subperiodo llegamos a un montante (1+im)^2. Al tercer subperiodo llegamos a (1+im)^3. Al cabo de un año (que son m subperiodos), se llega a un montante de (1+im)^m
Dos tantos son equivalenes si aplicados al mismo capital (en este caso 1 €), durante el mismo tiempo (en este caso 1 año), producen el mismo montante. Por tanto para hacer que los tantos i e im sean equivalentes se ha de cumplir que sus montantes son iguales:
(1+i)=(1+im)^m
De la expresión anterior se puede despejar el tanto efectivo anual i:
i=(1+im)^m-1
Ejemplo: Si trabajamos con fraccionamiento mensual, m=12, y nos dicen que el tanto mensual es del 1%. Entonces i12=1% efectivo mensual. Nos piden calcular el tanto efectivo anual equivalente. Nos piden i.
i=(1+0,01)^12-1=0,1268...=12,68% efectivo anual.
Se observa que es más de un 12%, que sería un comportamiento lineal (12*1%), debido a que en capitalización compuesta los intereses se hacen productivos y generan a su vez nuevos intereses.
Veamos la evolución del capital (1 €) desde el instante t=0, hasta el final del año, t=12 meses, capitalizado reiteradamente al 1% mensual.
Las rentas unitarias son importantes, ya que con ellas luego se pueden calcular todas las de cuantía constante.
Existe una propiedad de las leyes financeras que dice que "las leyes financieras son homogéneas de grado 1 respecto a la cuantía". Esto quiere decir que las leyes financieras son proporcionales a la cuantía utilizada C.
Ejemplo, si capitalizas 100 euros durante un cierto número de años n, a un cierto tanto efectivo anual, en capitalización compuesta, obtienes un montante M que será 100 veces mayor que si hubieras capitalizado 1 euro, durante ese mismo número de años, y al mismo tanto. Por eso, lo que podemos hacer es calcular lo que sucede trabajando con 1 euro y luego multiplicamos por el número de euros que lleve la operación.
Para rentas es igual el razonamiento, ya que una renta se valora, valorando todos y cada uno de los capitales que la componen.
Te dejo una imagen con un escrito que explica esto.
Cuando en una celda pones una fórmula, y comienzas con el signo más, ¿por qué lo haces?
¿hay diferencia en el valor si no lo ponemos?
Respuesta
Las fórmulas en Excel comienzan por el signo =. También puedes comenzar a escribir la fórmula por el signo + (si es positiva), o por el signo - (si es negativa).
Yo tengo la costumbre de comenzar las fórmulas con el signo +. Luego Excel se encarga de poner el signo igual, antes del signo +. Por eso en mis fórmulas puedes ver algo así como:
=+suma(A1:A10)
en lugar de ver únicamente
=suma(A1:A10).
El motivo de esta costumbre es ahorrar una tecla, ya que para poner un =, se debe pulsar la tecla SHIFT (la de mayúsculas), y para pulsar el signo +, únicamente se ha de pulsar una tecla. Si pones 10 fórmulas al día, la cosa no es muy grave, pero si pones 200, te ahorras 200 teclas.
Por tanto, es una buena costumbre comenzar las fórmulas por el signo +, en lugar de por el signo =.
Hablando de costumbres. También verás que no uso la columna A, ni la fila 1. El motivo es que si haces una tabla de datos, pegada al borde de la hoja, y luego metes bordes (formato borde), verás que el borde que está en el extremos de la hoja, no se ve !!!
En la imagen anterior se muestra el Apple II plus, que es el primer ordenador profesional en el que aprendí a programar en Basic. En verano teníamos que quitar la carcasa y poner un ventilador apuntando directamente a los circuitos para que no se nos calentara en exceso.
Para el cálculo de rentas variables en progresión geométrica puede ser necesario utilizar la función VAgeo (para el valor actual) y VFgeo (para el valor final). Estas funciones, no existen en Excel, y por tanto debemos programarlas nosotros. Esto se hace en el un módulo de Visual Basic como si de una MACRO se tratara. Está explicado en el PDF que se indica al inicio de este post.
En otra entrada se comenta cómo programar VAgeo y VFgeo con un vídeo explicativo:
También puede ser interesante, aunque se usa mucho menos, programar el Valor Actual y Final de una renta variable en progresión aritmética.
Grabar la macro
En Excel 2007, 2010 y posteriores, los ficheros que no llevan macro tienen la extensión XLSX, y los que llevan macro llevan la extensión XLSM.
Si creaste y grabaste un fichero sin macro con la extensión XLSX, y posteriormente creas una macro, debes grabar el fichero con extensión XLSM. Si no lo haces así pierdes la macro. De todas formas, Excel te avisa en este caso y te indica que debes grabarlo con la extensión para macros, ya que en caso contrario se perdería la macro.
Por otro lado, si tengo creada una macro, o una función personalizada en un fichero de Excel y la quiero llevar a otro, simplemente he de copiar y pegar. Esto es así, porque las macros cuando las tenemos en un MODULO son texto. Por tanto, lo que debes hacer es abrir un MODULO en el libro nuevo, y copia la macro del libro antiguo y llevarla a ese nuevo módulo, simplemente pegándola.
Function VAgeo(C, q, n, i)
If q = 1 + i Then
VAgeo = C * n / (1 + i)
Else
VAgeo = C * (1 - (q / (1 + i)) ^ n) / (1 + i - q)
End If
End Function
Function VFgeo(C, q, n, i)
VFgeo = VAgeo(C, q, n, i) * (1 + i) ^ n
End Function
Puedes descargar el fichero con los cálculos: RentaGeo.xlsx
Esta es la parte más complicada de las rentas. Se trata de una renta geométrica fraccionada. Primero conviene controlar bien lo que es una renta variable en progresión geométrica, y luego ya nos metemos con este caso.
Ejemplo de Renta Geométrica
Supongamos una renta pospagable variable en progresión geométrica de 4 términos anuales, primera cuantía 1.000 euros, con incrementos anuales del 10% (razón 1,1), y valorada al 5% anual.
Con este ejemplo se ve como funciona una renta geométrica 'normalita', ahora veamos como funciona una geométrica fraccionada.
Ejemplo de Renta Geométrica Fraccionada
Supongamos una renta pospagable de términos mensuales y 4 años de duración. Dentro de cada año las mensualidades son constantes, pero se incrementan anualmente un 10% anual acumulado. La primera mensualidad es de 100 euros y se valora al 5% efectivo anual.
Como el incremento de la renta es anual y los términos de la renta son mensuales, no podemos mezclar ambas cosas, ya que están referidas a unidades temporales distintas. Para hacerlo homogéneo, lo que se hace es convertir la renta mensual en una renta anual equivalente financieramente a la mensual. Para ello lo que hacemos es tomar las mensualidades de cada año y llevarlas a final de su año. Esto es lo que se denomina "su final parcial", ya que en este ejemplo lo llevamos a final de año, porque los incrementos de la renta son anuales, pero si los incrementos de la renta fueran semestrales, se habrían de llevar las mensualidades a final de su semestre. Por eso se dice que "se lleva a su final parcial".
En este ejemplo, el primer año la renta es de 12 meses, pospagable y de cuantía constante 100 euros, por lo que su valor final se puede calcular con la función VF, que sirve para calcular el valor final de una renta de cuantía constante.
=+VF(1,05^(1/12)-1;12;-100)
Hemos tenido que trabajar con el tanto mensual i12 que proviene del 5% efectivo anual.
i12=1,05^(1/12)-1
El valor a final de año es: 1.227,26 €
Lo mismo se deberíamos hacer con las cuantías del segundo año. Esto es, la cuantía mensual constante del segundo año, que es 100*1,1 se debería llevar a final de su año, así:
=+VF(1,05^(1/12)-1;12;-100*1,1)
El resultado es: 1.349,98 €. Observar que este resultado es justo igual al anterior multiplicado por 1,1. Esto es lógico, ya que la fórmula VF que hemos puesto es igual a la anterior salvo por la cuantía, que el primer año fue de 100 euros y durante el segundo año ha sido de 100*1,1.
Para el tercer año, procedemos de igual forma, y llevamos la cuantía mensual (100*1,1^2) hasta su final parcial, así:
=+VF(1,05^(1/12)-1;12;-100*1,1^2)
Obteniendo un resultado de 1.484,98 €. Esta cifra es igual a la anterior por 1,1.
Y finalmente para el cuarto año, procedemos de forma similar. El valor de las 12 últimas mensualidades llevadas a su final de año se pueden calcular asi:
=+VF(1,05^(1/12)-1;12;-100*1,1^3)
El resultado es: 1.633,48 €. Esta cifra es igual a la anterior multiplicada por 1,1.
Por tanto la renta ANUALIZADA si es una verdadera renta variable en progresión geométrica anual, de 4 años de duración, cuyo primer término es:
C=1.227,26 €
y cuya razón es 1,1.
Para calcularla usamos la función VAgeo, así:
=VAgeo(C;q;n;i)
a=100
q=1,1
n=4 años
i=5%
El valor actual es:
=+Vageo(VF(1,05^(1/12)-1;12;-100);1,1;4;0,05)
cuyo resultado es: 5.019,94 €.
Su valor finales:
V4=Vo*(1+0,05)^4 = 6.101,77 €
Comprueba, el ejemplo con Excel, y así podrás ir profundizando en el tema.
A continuación se muestra un vídeo donde se calculan estos dos casos (Hoja1 y Hoja2) y además se calcula una renta geométrica fraccionada con faltas (Hoja3).
Ejemplo
Deseamos calcular el VF de una renta geométrica fraccionada mensual de 100 euros pospagables el primer año e incrementos acumulados del 3% anual, durante 10 años. Valorar a un tanto i efectivo anual.
Ejemplo
Calcular el VA y el VF de una renta geométrica fraccionada, mensual de 100 euros pospagables el primer año e incrementos acumulados del 10% anual, durante 4 años. Valorar a un tanto j12 nominal anual del 12%.
a=100 €/mes
POS
q=1,1
n=4 años j12 = 12% i12 = 1% i = 1,01^12-1=12,68%
En el tema de Rentas y en el resto de la asignatura SIEMPRE utilizaremos capitalización compuesta.
Cn=Co*(1+i)^n
O esta misma fórmula para descontar:
Co=Cn*(1+i)^-n
Todas las fórmulas financieras (VA, VF, TASA, NPER, VNA, TIR) trabajan en capitalización COMPUESTA.
En cuanto a si debemos valorar las rentas utilizando el tanto nominal o el tanto efectivo, podemos decir que todas las fórmulas deben usar el tanto efectivo del periodo con el que se produce la renta.
Si la renta es de periodicidad mensual, el tanto de valoración debe ser el efectivo mensual
Si la renta es de periodicidad trimestral, el tanto de valoración debe ser el efectivo trimestral
Si la renta es de periodicidad semestral, el tanto de valoración debe ser el efectivo semestral
Si la renta es de periodicidad anual, el tanto de valoración debe ser el efectivo anual
En las fórmulas financieras de valor actual o final de una renta nunca uses un tanto nominal.
¿Pero qué sucede si en un problema nos dan un tanto nominal como dato?.
Lo que debemos hacer en ese caso es calcular el efectivo y trabajar con él.
Ejemplo
Nos dan como dato en una renta mensual un tanto nominal anual del 6%. Pues en este caso sabemos que:
j12=6% nominal anual.
Y debemos calcular el efectivo mensual:
i12= j12/12 = 0,5% efectivo mensual.
Es con el i12 con el que trabajaremos en las fórmulas financieras.
En ocasiones una renta nos dicen que es PRE o POS. En ese caso el tema está resuelto. Pero en otras ocasiones somo nosotros los que debemos elegir como tratar la renta, si como PRE o como POS, ya que el punto de valoración al que debemos llegar no es el habitual. Pondremos luego un ejemplo.
Primero hemos de tener claro que:
en una renta POS, de n términos, el valor actual, Vo, deja la renta valorada un periodo antes del vencimiento de la primera cuantía. Ver gráfico 1º.
para las rentas PRE, de n términos, el valor actual, Vo, deja la renta valorada justo en el instante en el que vence la primera cuantía. Ver gráfico 2º.
Estas ideas hay que tenerlas siempre presentes.
EJEMPLO
En el ejemplo tenemos una renta que no es ni pre ni pos propiamente dicha, ya que es una renta DIFERIDA.
Disponemos de dos Métodos igualmente válidos.
En el Método 1, tratamos la renta como POS, con lo que queda valorada en t=4, y luego hemos de descontar 4 años.
En el Método 2, tratamos la renta como PRE, con lo que queda valorada en t=5, y luego hemos de descontar 5 años.
Puedes elegir el método que te guste. También puedes ver la fórmula de Excel equivalente.
Vamos a intentar razonar el motivo por el que para pasar de PRE a POS se ha de multiplicar por (1+i).
Supongamos que ya sabemos calcular el valor actual de una renta unitaria pospagable.
Partimos de una renta unitaria PREpagable capitalizamos un periodo cada euro, transformándose en un importe de (1+i) euros. Esto se ve en la imagen, ya que hemos dibujado la renta PREpagable unitaria y debajo la renta pospagable de cuantía constante (1+i). Ambas rentas son financieramente equivalentes valoradas en cualquier punto que podamos elegir. Por tanto, si sabemos calcular el valor financiero en un punto, de la renta de abajo, estaremos calculando el valor financiero en ese mismo punto de la de arriba. Esto es, si me das el valor actual (por ejemplo) de la renta pospagable de cuantía constante (1+i), me estarás dando el valor actual de la prepagable unitaria, ya que ambas son financieramente equivalentes.
Por lo que:
VB=(1+i)*VA.
Por eso, siempre, valoremos donde valoremos, el valor de la renta PRE es igual al de la renta POS multiplicada por (1+i).
Ejemplo
Calcular el valor actual y el valor final de una renta prepagable de 5 términos anuales de 500 euros constantes valorada al 6% anual.
El valor final se puede calcular con la función VF:
=VF(6%;5;-500;;1)
El valor final también se puede calcular capitalizando 5 años el valor actual:
