Tantos Equivalentes a interés compuesto

Concepto de tantos equivalentes

Dos tantos se dice que son equivalentes cuando aplicados a la misma cuantía (Co), durante el mismo tiempo (n), producen los mismos resultados (Cn).

En capitalización compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial. Esto es debido a que en compuesta los intereses se capitalizan y se hacen productivos, produciendo a su vez nuevos intereses.

1. Definimos el periodo, normalmente el año.
2. Definimos el subperiodo, que es la parte en la que dividimos el periodo. Pueden ser meses, o semestes, etc.
3. Calculamos la frecuencia m, que es el número de subperiodos que hay en el periodo. Así, por ejemplo, si el periodo es el año y el subperiodo el mes, entonces m=12, ya que hay 12 meses en un año.
4. Aplicamos el concepto de tantos equivalentes en capitalización compuesta, durante 1 años y partiendo de un capital incial de 1 euro.
5. Capitalizando todo el año de golpe ('del tiron') a un tanto i, el montante al que se llega es (1+i).
6. Capitalizando un subperiodo usando el tanto relativo al subperiodo que es im, se llega a un montante de (1+im). Capitalizando un nuevo subperiodo, y aplicando capitalización compuesta, llegamos a (1+im)^2. Al final del tercer subperiodo, habremos llegado a (1+im)^3. Y al final del año, que es el final del subperiodo m, habremos llegado a un montante que es (1+im)^m.
7. Por el concepto de tantos equivalentes, igualamos los montantes alcanzados por ambos métodos, ya que si queremos que sean tantos equivalentes han de tener que llegar al mismo montante. (1+i)=(1+im)^m
8. De la fórmula anterior podemos despejar i en función de im, y también podemos despejar im en función de i, que son las dos expresiones que conviene recordar para trabajar con tantos equivalentes: i=(1+im)^m-1 y la otra: im=(1+i)^(1/m)-1.
9. Hasta ahora no ha aparecido el concepto de tanto nominal, y realmente podría no hacerlo y las matemáticas financieras conceptualmente no se resentirían lo más mínimo. Pero, sucede que en la realidad financiera la banca utiliza este concepto y nosotros debemos conocer su significado y debemos aprender a manejarlo.
10. El tanto nominal se denota por jm y se define como m veces im. Fórmula: jm=m*im. Si te das cuenta es hacer lineal lo que no lo es. Me explico. En capitalización compuesta hemos dicho que los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial, y resulta que ahora introducen un concepto que lo que hace es trabajar de forma proporcional (de forma lineanl). Por ejemplo, si m=12, i12=1% mensual, enconces j12=1*1%=12% nominal anual. Lo cual lo que está haciendo es confundir a la gente, que pueden llegar a pensar que un 1% mensual es equivalente a un 12% anual. Cosa que en capitalización simple es cierto, pero en compuesta NO. En capitalización compuesta el equivalente a un 1% mensual es: i=(1+im)^m-1 = (1+0,01)^12-1 = 12,68..% efectivo anual. Como se ve, el efectivo es mayor que el nominal.
11. Al aplicar la ley de capitalización COMPUESTA Cn=Co(1+i)^n siempre debemos utilizar tantos efectivos. Nunca uses dentro de esa fórmula un tanto nominal, porque lo que obtendrá no será correcto. Ejemplo: Co=100, n= 18 meses, i12=1% mensual. Podemos calcular Cn así: Cn=100(1+0,01)^18, o bien podemos calcular el tanto anual equivalente: i=12,68% y luego trabajar con el exponente en años: Cn=100(1+0,1268..)^1,5 (ya que 18 meses es 1,5 años). Pero jamas digas que: Cn = (1+0,12)^1,5 porque en ese caso estará mal ya que has tomado el tanto nominal j12=12% nominal anual.

Por tanto, podríamos vivir mucho mejor si no existiera el concepto de tanto nominal, pero como la banca lo usa, nosotros debemos entenderlo.

En los años 80, cuando comenzaron a establecerse las leyes en defensa de los consumidores, el Banco de España introdujo, mediante circular, el concepto de TAE (Tanto Anual Equivalente). Este concepto coincide básicamente con el concepto de tanto efectivo anual (i), y además coincide con el concepto de TIR, que en realidad también es un tanto efectivo anual. El Banco de España obliga a incluir dato de la TAE en toda información financiera se se emita. Por ejemplo, al financiar un coche, o al anunciar una cuenta bancaria o un depósito financiero.

Ejemplo

Mira la página de este banco:

http://www.ibanesto.com

Tienen una cuenta que llaman cuenta Azul, pincha en el enlace y verás que te explican que da un 3,10% TAE. Observa el asterisco y el texto que viene debajo. Pone lo siguiente:

"(*)TAE 3,10% calculada para cualquier importe a partir de 1 céntimo de €, tipo nominal anual de 3,06%"

Comprueba que es verdad, y verás que efectivamente sale una TAE del 3,06% redondeando a dos  decimales.

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Los conceptos de tanto efectivo y tanto nominal son propios de la ley de capitalización compuesta.

En compuesta los tantos equivalentes se relacionan de forma exponencial (no lineal como sucede en simple). La demostración está en el Libro, y se basa en lo siguiente:

Vamos a capitalizar 1 € durante un año de dos forma.

1. De un tirón durante un año al tanto i anual. El montante alcanzado es (1+i).
2. Fraccionando el año en subperiodos. Vamos a fraccionar el año en m partes iguales. Por ejemplo, si fraccionamos en meses entonces m=12. Partimos de 1 € y calitalizamos un subperiodo. El montante alcanzado será (1+im), ya que el tanto aplicable es el del subperiodo (im). Capitalizando un segundo subperiodo llegamos a un montante (1+im)^2. Al tercer subperiodo llegamos a (1+im)^3. Al cabo de un año (que son m subperiodos), se llega a un montante de (1+im)^m

Dos tantos son equivalenes si aplicados al mismo capital (en este caso 1 €), durante el mismo tiempo (en este caso 1 año), producen el mismo montante. Por tanto para hacer que los tantos i e im sean equivalentes se ha de cumplir que sus montantes son iguales:

(1+i)=(1+im)^m

De la expresión anterior se puede despejar el tanto efectivo anual i:

i=(1+im)^m-1

Ejemplo: Si trabajamos con fraccionamiento mensual, m=12, y nos dicen que el tanto mensual es del 1%. Entonces i12=1% efectivo mensual. Nos piden calcular el tanto efectivo anual equivalente. Nos piden i.

i=(1+0,01)^12-1=0,1268...=12,68% efectivo anual.

Se observa que es más de un 12%, que sería un comportamiento lineal (12*1%), debido a que en capitalización compuesta los intereses se hacen productivos y generan a su vez nuevos intereses.

Veamos la evolución del capital (1 €) desde el instante t=0, hasta el final del año, t=12 meses, capitalizado reiteradamente al 1% mensual.

1
1,01
1,0201
1,030301
1,04060401
1,05101005
1,06152015
1,07213535
1,08285671
1,09368527
1,10462213
1,11566835
1,12682503

Observar que el montante final alcanzado es 1,12682503 que menos el euro de capital inicial nos da unos intereses de:

0,12682503

Que es justo el tanto efectivo anual i.

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