Paridad Put-Call

Puede descargar el archivo paridadPutCall.xlsx

¿Qué es la paridad Put-Call?

En el campo de las opciones financieras la paridad Put-Call hace referencia a una posición de equilibrio del mercado que relaciona el valor del un CALL y un PUT. Viene expresada por una fórmula en la que intervienen:

• el valor de una opción CALL
• el valor de una opción PUT
• el precio spot del activo subyacente en t=0
• y el tipo de interés, para que quede todo valorado en el mismo instante (t=0)

Esa fórmula se debe cumplir y si no se cumple se podría establecer una estrategia de arbitraje para obtener un beneficio cierto operando en el mercado.

El CALL y el PUT implicados en la formula que veremos son de tipo Europeo y deben ser de la misma serie:

• mismo activo subyacente
• tener el mismo precio de ejercicio (strike) y
• la misma fecha de vencimiento

Fórmula

Nomenclatura utilizada para los activos que podríamos tener en cartera:

• C → CALL comprado
• -C → CALL vendido
• P → PUT comprado
• -P → PUT vendido
• S → valor del activo subyacente en el mercado de contado (Spot) en t=0, si son acciones estamos largos o comprados en acciones
• -S → posición corta en el activo subyacente en t=0, estamos vendidos (cortos) en acciones
• E → Precio de Ejercicio (Strike)
• r → rentabilidad libre de riesgo, expresada como tanto instantáneo anual
• t → años

Interpretación gráfica

Generamos una compra de un CALL, una venta de un PUT y las sumamos para obtener nuestra estrategia.

Vamos a sumar en vertical las gráficas de una opción CALL comprada y una opción PUT vendida, ambas europeas de la misma serie (mismo Strike Price y misma fecha de vencimiento) y, para simplificar, con la misma prima.

Podemos observar que al sumar verticalmente se obtiene la gráfica de un Futuro comprado.

C - P = F

CALL - PUT = Futuro

Introduciendo un Bono

Cuando vimos el tema de los futuros comprobamos que un Futuro comprado es igual a un Bono más el contado.

F+ B = S

Futuro + Bono = Contado

Nomenclatura:

• F  → Futuro comprado
• -F →  Futuro vendido
• B → Bono comprado
• -B → Bono vendido (emitido)

Podemos ver con detalle la suma de los gráficos en vertical, observando que Futuro + Bono = Contado.

Otras equivalencias

Ya hemos visto que se cumple que Futuro + Bono = Contado

F + B = S

Ahora podemos despejar de otras formas

-B = F - S         (podemos crear una emitir bonos sintéticos a tipos de interés bajos)

- S= - F - B       (podemos invertir contra el mercado simulando operar a corto con el contado)

Consideremos que el Futuro se obtiene con un CALL comprado y un PUT vendido:  F = C - P

Sustituyendo obtenemos:

C - P + B = S

Llegando a la fórmula de la paridad Put-Call

Consideremos también que el Bono es un bono cupón cero cuyo nominal hacemos coincidir con el precio de ejercicio de las opciones. Entonces sería B=E, siendo E el strike (precio de ejercicio), pero existe un inconveniente ya que el precio de ejercicio está valorado a fecha de vencimiento t=n, y el resto de variables están valoradas en t=0 que es cuando se contratan las opciones CALL y PUT. Es en t=0 cuando se pagan o cobran las primas por lo que debemos descontar el strike, obteniendo la siguiente expresión.

C - P + E/(1+i)^n = S

Si trabajamos con un tanto instantáneo r la fórmula queda como:

C - P + E · e^-rt = S

Y ahora podemos despejar y obtener otras posiciones:

C + E · e^-rt = S + P

Esta es la fórmula de la paridad Put-Call que habíamos utilizado inicialmente.

Modelo de Black-Scholes

Puede descargar el ArbolBinomial.xlsm

El modelo de Black-Scholes se debe a dos economistas-matemáticos expertos en finanzas:

• Fisher Black, americano, fallecido en 1995
• Myron Scholes, canadiense-americano ganador del premio Nobel en 1997 junto con Robert Merton

El modelo calcula el valor teórico de una opción, bajo una serie de supuestos, utilizando procesos estocásticos y dando lugar a una fórmula que da el valor de la prima en función de unos parámetros de entrada.

C → Valor de una opción CALL europea (prima) en T=0.

S → Precio Spot del activo subyacente en T=0

E → Precio de Ejercicio (strike)

T → Duración en años, hasta fecha de vencimiento

σ → Volatilidad (desviación típica)

r → Tasa de interés libre de riesgo anual como tanto instantáneo

N() → Distribución Normal N[0,1]

Hoja 6

Calculamos un caso con los valores de entrada proporcionados por las celdas de color rosa. El valor de salida es la celda de color naranja donde se obtiene el valor del CALL.

Hoja 7

Creamos una tabla de tres columnas:

• columna I → n indica el número de pasos del modelo del árbol binomial
• columna J → CALL es el precio obtenido aplicando el modelo del árbol binomial con la fórmula programada mediante código VBA
• columna K → Es la columna de Diferencia entre el precio del CALL calculado con la fórmula programada y el valor de la celda naranja obtenido mediante el método de Black-Scholes

Podemos ver cuando n tiende a infinito ambos métodos convergen. Cuando el número de pasos del método binomial tiende a infinitos el valor teórico obtenido coincide con el que proporciona el método de Black-Scholes.

Podemos consultar estos enlaces:

• https://es.khanacademy.org/economics-finance-domain/core-finance/derivative-securities/black-scholes/v/introduction-to-the-black-scholes-formula
• https://youtu.be/pr-u4LCFYEY (en inglés)