Ejemplo 1
Calcular el descuento D aplicado a una operación de descuento cuyo nominal es de 100.000 €, vencimiento a 270 días, y tasa del 12%, en los dos casos siguientes:
- Aplicando descuento simple comercial y año comercial
- Aplicando descuento simple racional y año comercial
El descuento D en el caso del descuento simple comercial es:
D=Cn·n·d
En nuestro caso hemos de adaptar n para expresarlo en años y considerar que la base es 360.
D = 100.000·(270/360)·12% = 9.000 €
El descuento D en el descuento simple racional es:
D=Co·n·i
Como no conocemos el efectivo Co tendremos que calcularlo previamente con la ley.
Co = Cn / (1+i·n) = 100.000 / (1+0,12·(270/360)) = 91.743,12 €
Ahora ya podemos calcular D con la fórmula anterior.
D=Co·n·i = 91.743,12·(270/360)·0,12 = 8.256,88 €
o bien, restando al nominal el efectivo.
D = Cn - Co = 100.000 - 91.743,12 = 8.256,88 €
Observe que el descuento mayor, el descuento más duro se aplica con la ley de descuento simple comercial.
¿Por qué cree usted que el descuento simple comercial es el más utilizado en banca, a pesar de sus inconvenientes?
Gráfico comparativo
Podemos realizar un gráfico comparativo entre la ley de descuento simple comercial y la ley de descuento simple racional.
La curva del descuento simple racional no es una línea recta, es decreciente y asintótica al eje horizontal. El efectivo que se obtienen con la ley de descuento simple racional nunca será negativo, cosa que si sucede con el descuento simple comercial.
En horizontal (eje de abcisas) se representa la duración de la operación financiera (n).
En vertical (eje de ordenadas) se representa el efectivo obtenido con la operación de descuento (Co).
Relación entre los tantos
Veamos la relación que existe entre:
Co = Cn (1-d·n)
Co = Cn / (1+i·n)
Igualemos los efectivos Co=Co
Cn (1-d·n) = Cn / (1+i·n)
Los nominales al estar en ambas partes de la igualdad se simplifican.
(1-d·n) = 1 / (1+i·n)
Vamos a despejar i.
(1+i·n) = 1 / (1-d·n)
i·n = [1 / (1-d·n)] - 1 = [1 - (1-d·n)] / (1-d·n) = (d·n) / (1-d·n)
Finalmente hemos obtenido que i es:
i = d / (1-d·n)
Observamos que no existe una relación de conversión directa entre i y d, ya que en la fórmula anterior aparece n. Esto quiere decir que la relación que exista entre el tanto de descuento d y el tanto de interés i en simple depende de la duración de la operación financiera.
Esto es bastante extraño y denota uno más de los problemas que supone la ley de descuento simple comercial.
Cuando hablamos de relación directa entre dos variables nos referimos a que se puede convertir una en otra sin la interferencia de cualquier otra variable. Por ejemplo, la relación que existe entre la temperatura medida en grados Celsius o en grados Fahrenheit es una relación directa y no depende de ninguna otra variable.
Ejemplo 2
Calcular el tanto de interés equivalente a un tanto de descuento d del 20% anual en simple, bajo los supuestos de que la operación dure 3 meses, o dure 2 años. Comprobar que efectivamente son equivalentes supuesto que el nominal se de 100.000 €.
Si la operación dura 3 meses veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.
i = d / (1-d·n) = 0,2 / (1-0,2·(3/12)) = 21,0526315789474%
Si la operación dura 2 años veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.
i = d / (1-d·n) = 0,2 / (1-0,2·2) = 33,33%
Observamos que la diferencia es importante y que, por tanto, la duración de la operación financiera (n) influye bastante.
Para comprobar que efectivamente producen los mismos resultados el tanto i y el tanto d equivalente tomemos el caso de la operación que dura 2 años y calculemos en ambos casos el efectivo. Si ambos efectivos coinciden quedará comprobado que ambos tantos son equivalentes.
Con la ley de descuento simple comercial y d=20%
Co = Cn (1-d·n) = 100.000 (1-0,2·2) = 60.000 €
Con la ley de descuento simple racional e i=33,33...%
Co = Cn / (1+i·n) = 100.000 / (1+0,3333...·2) = 60.000 €
En ambos casos obtenemos un efectivo (Co) de 60.000 € por lo que queda comprobado que d e i son equivalente.
Relación entre los descuentos D
La relación entre los tantos d e i que hemos obtenido se basa en igualar los efectivos (Co) de ambas leyes, o lo que es lo mismo, se basa en igualar los descuentos (D) de ambas leyes. También podemos hacer la comparación igualando los tantos d e i, y en ese caso obtendríamos que el descuento comercial (DC) es mayor siempre que el descuento racional (DR)
Ahora ya podemos calcular D con la fórmula anterior.
D=Co·n·i = 91.743,12·(270/360)·0,12 = 8.256,88 €
o bien, restando al nominal el efectivo.
D = Cn - Co = 100.000 - 91.743,12 = 8.256,88 €
Observe que el descuento mayor, el descuento más duro se aplica con la ley de descuento simple comercial.
¿Por qué cree usted que el descuento simple comercial es el más utilizado en banca, a pesar de sus inconvenientes?
Gráfico comparativo
Podemos realizar un gráfico comparativo entre la ley de descuento simple comercial y la ley de descuento simple racional.
La curva del descuento simple racional no es una línea recta, es decreciente y asintótica al eje horizontal. El efectivo que se obtienen con la ley de descuento simple racional nunca será negativo, cosa que si sucede con el descuento simple comercial.
En horizontal (eje de abcisas) se representa la duración de la operación financiera (n).
En vertical (eje de ordenadas) se representa el efectivo obtenido con la operación de descuento (Co).
Relación entre los tantos
Veamos la relación que existe entre:
- El tanto de descuento (d) de la ley de descuento simple comercial, y
- El tanto de interés (i) de la ley de descuento simple racional
Co = Cn (1-d·n)
Co = Cn / (1+i·n)
Igualemos los efectivos Co=Co
Cn (1-d·n) = Cn / (1+i·n)
Los nominales al estar en ambas partes de la igualdad se simplifican.
(1-d·n) = 1 / (1+i·n)
Vamos a despejar i.
(1+i·n) = 1 / (1-d·n)
i·n = [1 / (1-d·n)] - 1 = [1 - (1-d·n)] / (1-d·n) = (d·n) / (1-d·n)
Finalmente hemos obtenido que i es:
i = d / (1-d·n)
Observamos que no existe una relación de conversión directa entre i y d, ya que en la fórmula anterior aparece n. Esto quiere decir que la relación que exista entre el tanto de descuento d y el tanto de interés i en simple depende de la duración de la operación financiera.
Esto es bastante extraño y denota uno más de los problemas que supone la ley de descuento simple comercial.
Cuando hablamos de relación directa entre dos variables nos referimos a que se puede convertir una en otra sin la interferencia de cualquier otra variable. Por ejemplo, la relación que existe entre la temperatura medida en grados Celsius o en grados Fahrenheit es una relación directa y no depende de ninguna otra variable.
Ejemplo 2
Calcular el tanto de interés equivalente a un tanto de descuento d del 20% anual en simple, bajo los supuestos de que la operación dure 3 meses, o dure 2 años. Comprobar que efectivamente son equivalentes supuesto que el nominal se de 100.000 €.
Si la operación dura 3 meses veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.
i = d / (1-d·n) = 0,2 / (1-0,2·(3/12)) = 21,0526315789474%
Si la operación dura 2 años veamos el tanto i que equivale a un d del 20%.
i = d / (1-d·n) = 0,2 / (1-0,2·2) = 33,33%
Observamos que la diferencia es importante y que, por tanto, la duración de la operación financiera (n) influye bastante.
Para comprobar que efectivamente producen los mismos resultados el tanto i y el tanto d equivalente tomemos el caso de la operación que dura 2 años y calculemos en ambos casos el efectivo. Si ambos efectivos coinciden quedará comprobado que ambos tantos son equivalentes.
Con la ley de descuento simple comercial y d=20%
Co = Cn (1-d·n) = 100.000 (1-0,2·2) = 60.000 €
Con la ley de descuento simple racional e i=33,33...%
Co = Cn / (1+i·n) = 100.000 / (1+0,3333...·2) = 60.000 €
En ambos casos obtenemos un efectivo (Co) de 60.000 € por lo que queda comprobado que d e i son equivalente.
Relación entre los descuentos D
La relación entre los tantos d e i que hemos obtenido se basa en igualar los efectivos (Co) de ambas leyes, o lo que es lo mismo, se basa en igualar los descuentos (D) de ambas leyes. También podemos hacer la comparación igualando los tantos d e i, y en ese caso obtendríamos que el descuento comercial (DC) es mayor siempre que el descuento racional (DR)
DC > DR
Como ejemplo, podemos ver el Ejemplo 1 que se encuentra al inicio de este apartado. Allí vimos que el descuento obtenido con la ley de descuento simple comercial es más duro, es mayor, que el obtenido con la ley de descuento simple racional.
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